長さL、質量Mの棒の両端が長さLの糸で天井に固定されている。静止状態で

質問

長さL、質量Mの棒の両端が長さLの糸で天井に固定されている。静止状態での糸の間隔もLであるとして、微小振動の周期を計算せよ。(重力加速度はgとする)

という問題でラグランジュ関数から運動方程式を求め、微小振動を求めたいのですが、ラグランジュ関数をどのように求めればよいかわかりません。(棒の慣性モーメントを考えて解くみたいです)
自分なりに(φ、ψ、θ)の自由度が3と考えて、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを計算しようとしたのですが、どうもうまくいきません。

どなたか詳しい方よろしくお願いします。

回答No.3

yokkun831

>…その微小振動は1質点のときと同じω＝√(g/L)でよいのでしょうか？

重心の運動を考えれば，同じであるといえると思います。これらの場合，重心周りの回転は起こらないので，１質点の単振子と同等といえます。

お礼

本当にありがとうございました。

回答No.2

yokkun831

方針が合っているか確信のない中での議論にはなりますが…

図のように考えて，θ，φが微小であることを考慮すれば，
Lθ = L/2・φ　∴θ = φ/2

方位角変位φのとき，支点の高さを基準点として棒の重心座標は，-Lcosθ
したがって，ラグランジアンは
L = 1/2・1/12・ML^2・φ'^2 + MgLcosθ
近似を用いて定数をはぶけば，
L = 1/24・ML^2・φ'^2 - MgLθ^2/2 = 1/24・ML^2・φ'^2 - 1/8・MgLφ^2

となると思います。

補足

回答ありがとうございます。理解することができました。
あと、x軸に沿った並進運動とy軸に沿った並進運動を考えたとき、その微小振動は1質点のときと同じω＝√(g/L)でよいのでしょうか？

何度もすみません。

回答No.1

yokkun831

あまり自信はありませんが，おおまかな方針のみ示してみます。

自由度が３ですから，規準振動が３つあるのではないかと考えてみました。

(1) つりあい位置の糸を含む平面上での振動
(2) (1)の平面に垂直な方向の振動
(3) 重心周りのねじれ振動

３つの規準振動数によるモードの重ね合わせになるのではないでしょうか？
(1)と(2)は縮退し，棒の慣性モーメントがかかわるのは(3)だけになると思います。

補足

(1)と(2)の振動は1質点の場合と同じように考えてよいのでしょうか？
あと、(3)の重心周りのねじれ振動は重力が関わってくると思うのですが、回転の運動方程式に重力を含んだ式にすることができません。

ご教授いただけないでしょうか