物理(力学)の問題です

質問

この問題の(2)の重力ポテンシャルをxの二次式で求めよというのができません。やり方を教えてください。

(1),(2)はできました。
(1)
x=l sinθ+u(t)
y=l cosθ
(2)
-mgy=-mgl cosθ

回答No.1

keechan5

x=l sinθ+u　より　sinθ=(x-u)/l
cosθ=√(1-sin²θ)≒1-(1/2)sin²θ=1-(1/2)((x-u)/l)²
位置エネルギー
U=-mgy=-mgl cosθ≒-mgl+(1/2)mgl((x-u)/l)²
力
F=-∂U/∂x=-(mg/l)(x-u)
運動方程式
mx''=-(mg/l)(x-u)-αx'
x''=-(g/l)(x-u)-(α/m)x'
x''=-(ω₀²)(x-u)-(2γ)x'
x''+2γx'+ω₀²x=ω₀²u
x''+2γx'+ω₀²x=ω₀²u₀cosωt
cosの中のωtのところは写真がよく見えませんでした。
これの定常解はgoogleで探してみて下さい。
キーワードは強制振動で見つかると思います。

お礼

なるほど!
cosθ=√(1-sin²θ)≒1-(1/2)sin²θ=1-(1/2)((x-u)/l)²
ここ↑で近似するのですね。ありがとうございます!