曲線の長さを求める問題が出来ません

質問

x = -1/3 (cos t)^3
y = sin t - 1/3 (sin t)^3
(0 ≦ t ≦ π/3)

l = ∫［0, π/3］√(1- 2(cos t)^2 + 2(cos t)^4) dt

積分が出来ません。
どうやりますか？

回答No.1

Terios19 · ベストアンサー

2020admwtpgさん

曲線の長さの公式からlは以下の式で求まります。
l = ∫［0, π/3］√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt

ここで
dx/dt=(sin t)*(cos t)^2
dy/dt=(cos t)^3
ですので、
√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)
= (cos t)^4*((sin t)^2 + (cos t)^2)
= (cos t)^4
となります。

よって、lは
l = ∫［0, π/3］(cos t)^2 dt
となります。

これなら積分できるのではないでしょうか。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。
xの式の微分を間違えていました。丁寧に回答していただきありがとうございます。

回答No.2

bran111

>x = -1/3 (cos t)^3
y = sin t - 1/3 (sin t)^3
(0 ≦ t ≦ π/3)

と

l = ∫［0, π/3］√(1- 2(cos t)^2 + 2(cos t)^4) dt

の関係が不明です。何をやりたいかはっきりさせてください。