「あなたにおすすめ！」のカオス的状況は何故？

質問

• 「あなたにおすすめ！」のカオス的状況について、秩序や関係性があるのか疑問です。
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回答No.6

noname#221368

#1です。

　褒められたぁ～！と誤解して、ちょっといい気になって放物線上の微分方程式の続きを書きます(^^)。

＞4次のルンゲクッタ法・・・

　正しい。正攻法だ！。

＞中央差分・・・

　簡単そうに見えたが、√があるので4次方程式を解く破目になる・・・。見込みが甘かった・・・。

　でも4次のルンゲクッタって、式が鬱陶しいよな。もちろん一回作ってしまえば、使いまわしは可能なのだけれど・・・。

　そこで、「運動の様子を見るだけ」という条件付きでなら、次のような裏技（？）があります(^^；)。

　エネルギー積分が使えて1自由度の場合、けっきょく次の変数分離形になりますよね？。

　　(dx/dt)・F(x)＝1

　で、変数分離形の変形に従って、x(t)の逆関数を数値積分する、という手です。

　　dt＝F(x)・dx　　　(1)

　(1)の両辺を、x＝x0～x1で積分すれば、

　　t1＝∫F(x)・dx，x＝x0～x1　　　(2)

となります。(2)の意味するところは、t＝0で初期条件x＝x0にいた粒子が、x＝x1に達するまでの時間は、(2)の右辺の積分で与えられるt1だという事です。これよりx1を順次ずらして積分すれば、ペア(x1，t1)の系列が得られます。その系列は、x(t)の逆関数ですよね。

　しかし(x1，t1)の系列をExcelにでも書き込んでしまえばNo Problem！。t1をx軸にして散布図を書けばx(t)だ！(^^；)。

　かつ(2)の右辺の積分は、x＝x0～x1を1000分割くらいして台形公式でもかませば、絶対に出来る。それもExcelで(^^；)。

　このような方法が余り紹介されないのは、以下の理由によると思われます。

　　1)(2)から直接出せる誤差精度は、時間tに関するもの。しかし実用上は、xに関する誤差精度でなければ使い道がない。

　　2)いつもエネルギー曲線があるとは限らない。

　　3)F(x)＜0となる部分があると、F(x)＝0の点に関する力学的解釈が必要になり（運動の回帰点）、直感的でないところもある。

　　4)先生に怒られそうだ(^^；)。

　・・・などだと思います。でも作用・角変数を考えって、初等的にやってしまえばこういう事だし、力学における正式な「経過時間の求め方」でもあるはずです。

　「力学を使いこなす」という目的からは、こういう話がもう少しあっても良い気がします。

　まぁ～彼には、「レポートに載せたりしちゃ駄目よ」と言うつもりではありましたが・・・(^^；)。

お礼

回答、ありがとうございます。

なるほど、こんな裏技が・・・。

常微分方程式の初期値問題の数値解は、ルンゲ・クッタで解くもんだと思い込んでいますからね～、わたし。

☆褒められたぁ～！
◇最大限に褒めています。
回答を見た瞬間に、「あっ！！！！！！」でしたから。
目から鱗が落ちる思いでした。