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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:環同型の証明です)
環同型の証明についての質問
このQ&Aのポイント
- 環同型の証明についての質問です。
- 代数学の勉強中に、環同型の証明が上手くいかない問題があります。
- 特に、Φが環同型であることを証明するための(i)Φ(ab)=Φ(a)Φ(b)、(ii)単射、(iii)全射の部分が悩ましいです。
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x_1 と x_2 を縦に並べた列ベクトル(2行1列行列)を (x_1, x_2)' と表すことにします。すると、行列の演算によって (1) α(x_1, x_2) = Φ(α) (x_1, x_2)' となります。ただし、α_11と x_1 の積α_11x_1 は、α_11(x_1) を意味するものとします。α_21x_1、α_12x_2、α_22x_2 も同様とします。 上の式を使えば、(i)、(ii)、(iii) は、簡単に分かるはずです。さらにヒントを言えば、 (i) について Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) というのは、任意の (x_1, x_2) に対して Φ(ab)(x_1, x_2)' = Φ(a)Φ(b) (x_1, x_2)'ということ。 (ii) について Φが単射というのは、「Φ(α) = 0 ⇒ α= 0」ということ。また、α= 0 というのは、任意の (x_1, x_2) に対してα(x_1, x_2) = 0 ということ。
お礼
お礼が遅くなり申し訳ございません。 ヒントを基に試行錯誤した結果、無事証明することができました。 ありがとうございました。