対称式の第一基本定理の証明・・・

質問

《対称式は基本対称式{e1,e2,…,en}の多項式としてただ一通りに表させる。つまりSはｎ変数の多項式環と同型です。》
という定理の証明がわかりません。
C[y1,y2,・・・,yn]∋F(y1,y2,・・・,yn)→F(e1,e2,…,en)∈S
（C[y1,y2,・・・,yn]はｎ変数{y1,y2,・・・,yn}の多項式環S＝S（x1,x2,…xn):対称式全体を表す。）
この全単射を示せばいいことがわかり、単射の証明はできたのですが、全射の証明方法がわかりません。
複素係数の対称式が基本対称式の多項式として表されたらOKなのでしょうか？
ｎ変数ともなり、２、３変数のように簡単に証明ができないため、頭を抱えています。回答のほど、よろしくお願いします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

自力で証明をされたいのであれば、
たとえば具体的な対称式を実際に思い浮かべてみて、
どうやってシステマティックに基本対称式で
表されるのか考えてみられるとよいと思います。
割と簡単な方法でアイデアが浮かぶでしょう。
あとは数学的帰納法で証明するだけです。

それから大変よいwebページがあるので紹介しておきます。
対称式というpdfファイルをご覧ください。

参考URL：

http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf.html

お礼

回答ありがとうございました。４変数で実際に証明していたのですが、なかなか基本対称式に表すことができなくて、ここに投稿させてもらいました。どうしようとかなり困っていたので、紹介してくださったURLはとても参考になりました。もう一度頑張ってみたいと思います。ありごうとうございました。

回答No.1

ojisan7

この場で、対称式の基本定理を証明するよりは、対称式の基本定理の証明は、教科書に書かれていると思いますので、今お持ちの教科書をよく読んで下さい。

証明には、どの教科書を使っているかにもよりますが、余り、予備知識を必要としない証明が、高木貞治著「代数学講義」にあります。現代数学の流儀を用いた証明は、どの、ガロア理論の教科書にも載っていると思います。頑張って下さい。

お礼

回答ありがとうございました。２変数や３変数の証明は書かれていて、ｎ変数も同じようにしていけばいいと思い、実際に４変数の時の証明をしてはいましたが、基本対称式に表すことができず、困っていました。
教科書も具体的にどういう教科書を探したらいいのかわからなかったので、紹介してくださってよかったです。
ありがとうございました。