リー代数 コルート 全射であることの証明

質問

h*＝｛γ：h→C、線形｝（γ：ルート、h：カルタン部分代数、C：複素数）
γ∈h*に対してγ（H）（H∈h）について
B（ｔ_γ，H）＝γ（H）　（Bはキリング形式を表わす）
が成り立つようなｔ_γ∈hが定まる。
次の写像はh*からhへの線形同型を与える：
ｔ：γ→ｔ_γ

とあり、tが線形同型であることを示したいです。線形であることと単射であることは証明できたのですが、全射であることをどうやって示せばいいのかがわかりません。
どのような方針で証明をすればいいのでしょうか。
方針だけでもいいので教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

ask-it-aurora

そこまでできていれば後は dim h = dim h* なのだから線形代数より全単射。