ベストアンサー ※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:この問題が分かりません・・・ 誰かこの問題を割り易) グラフGの性質と置換群S_5の関係 2012/11/28 20:14 このQ&Aのポイント グラフGはピータスングラフに同型であることを示す。置換群S_5はグラフGの自己同型群Aut(G)の部分群であることを示す。置換群S_5はグラフGの自己同型群Aut(G)と同型であることを示す。 この問題が分かりません・・・ 誰かこの問題を割り易 この問題が分かりません・・・ 誰かこの問題を割り易く教えてください。 {1、。。。、5}の2つの異なる数字{i,j}の全体を頂点集合とするグラフGを考える。 ここで α={i,j} (i≠j) と β={k,l} (k≠l) が辺で結ばれている。 ⇔_def {i,j}∩{k,l} = ∅ とする このとき、 (1)Gはピータスングラフに同型であることを示せ。 (2)S_5 (5次対 称 群) ≒{1,2,...,5}の置換群 は自然にAut(G)(Gの自己同型群)の部分群であることを示せ。 (3)実は、S_5≈Aut(G)である。 これを示せ。 {1,2}~{3,4} {3,5} {4,5} 回答宜しくお願いします。 質問の原文を閉じる 質問の原文を表示する みんなの回答 (2) 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2012/11/28 23:38 回答No.1 いろんな言葉が出てきてるけど, 理解してる? 質問者 補足 2012/11/29 00:34 はい、理解しています。よろしくお願いします。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する(1) その他の回答 (1) Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2012/11/29 12:18 回答No.2 じゃあどこがどうわからんの? 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 大学の数学(代数)の問題です。 問)群G1からG2への写像f:G1→G2は群準同型写像であるか。群準同型写像であるならばfの像Imf及び核Kerfを求め、群準同型写像でなければその理由を述べよ。(Snをn次対称群、Zは整数全体のなす集合あるいは加法群) (1)G1=S5、G2=Z;f(σ)=l(σ)(σ∈S5)。ここに、l(σ)はσを互いに素な巡回置換の積で表した時に現れる、長さの最も大きい巡回置換の長さ。 (2)G1=Z/9Z、G2=Z/3Z;f(x+9Z)=2x+3Z(x∈Z) です。誰かわかる方解答よろしくお願いします。 体の準同型について 複数の本でガロア理論について学んでいるのですが、 「K自己同型」という言葉の定義が複数あって困っています。 (1)K,Aを体とする。KからAへの準同型があるとき、AをK代数という。 K,A,Bを体、φ:K→A、ψ:K→Bを準同型とし、φ,ψにより、A,BをK代数とみなす。このとき、準同型f:A→Bが、f◦φ=ψという条件を満たすとき、fをK準同型という。K準同型が体の同型のときK同型という。 AがK代数である時、AからAへのK同型全体の集合は写像の合成により群になる。これをK自己同型群といい、Aut_k (A)とかく。 (2)Aを一つの体とする。Aの自己同型全体をAut(A)で表し、自己同型群と呼ぶ。 Aの一つの部分体Kが与えられたとする。σ∈Aut(A)がKのすべての元を固定するとき、σはAのK上の自己同型と呼ばれる。K上の自己同型の全体はAut(A)の部分群をなすので、この部分群をAのK上の自己同型群という。 (2)の定義の方は理解できたのですが、(1)のK代数の扱いがよくわかりません。この二つの定義は本質的には同じことを定義しているのでしょうか。(よろしければ、そうなる理由も書いていただけると嬉しいです。) 四元数群 四元数群Q={±1, ±i, ±j, ±k}について、Qから上への準同型写像φ:Q→Kをつくることのできる群Kは同型を除いて2つある。2通りの場合についてそれぞれKの乗積表と、準同型写像φ:Q→Kの例を少なくとも一つ与えよ。 という問題です。四元数群は、通常のi^2=j^2=k^2=-1をみたすものです。 同型でないもので全射、かつ準同型写像なのですが、うまく例を与えることができません。どなたか知恵を貸していただけないでしょうか。。 次の代数学の真偽について教えて下さい(理由も) 1.有限個の元からなる巡回群の位数は素数である。 2.同じ素数を位数とする有限群GとG'は同型である。 3.Snの偶置換全体からなる部分集合はSnの部分群である。 4.Snの奇置換全体からなる部分集合はSnの部分群である。 5.群Gの指数2の部分群は正規部分群である。 6.群の準同型写像f:G→G'の像Im(f)はG'の正規部分群だ。 7.群の準同型写像f:G→G'の核Ker(f)はGの正規部分群だ。 群論の問題です (1)G, G′ を群,H を G の正規部分群とする.f : G → G′ が準同型写像のとき f(H)は G′ の正規部分群か否か? 正規部分群ならば証明し,そうでないならば反例をあげよ. (2) n を正整数とするとき,Aut(Z/nZ) ≅ (Z/nZ)^x を示せ. この二問がわかりません。教えていただければ幸いです。 群が集合に「自由に」作用することの意味 群Gの元gと集合Xの元xについて、 gx = x → g =e (単位元) が成り立つ、あるいは、固定部分群が単位元のみからなるときに、Gは、Xに自由に作用する(act freely)と言いますが、どうして「自由に」作用すると呼ばれているのでしょうか。 例えば、正四面体群P(4)は、頂点の固定部分群は単位元のみではないので、頂点の集合に自由に作用していないことになりますが、正四面体の頂点を全部を同時に置換する変換(長さ4の巡回置換)と恒等変換からなる群では、どの頂点の固定部分群も単位元のみなので、この群は頂点の集合に自由に作用していることになると思います。 後者の群は正四面体群の部分群で、正四面体群の方が変換の数が多いのに、後者の方が「自由に作用する」というのは奇妙な感じがします。 群論の問題です。 群 G に対し,Int G はAut G の正規部分群である事を示せ。 この問題がわかりません。なるべく証明っぽく示していただける助かります。 代数学 「S_nをn次対称群とし、S_n∋σに対して、有限個の巡回置換τ_1,τ_2,…,τ_kで、i≠jならばτ_iとτ_jとに共通文字を含まない、というものがあってσ=τ_1・τ_2…τ_kとなることを証明せよ。」 という問題を友達に教えてもらったのですが、証明の流れの前に問題の意図が分かりません。 教えてもらえませんか? 場合の数の問題です 正12角形の各頂点に1~12の番号をふる。この12頂点から4頂点を選んで四角形をつくると全部で12C4個つくれる。 (1)このうち一頂点が1であり、正12角形とは辺を共有しないものはいくつあるか (2)正12角形とは辺を共有しないものはいくつあるか (1)の解答 残り3頂点の番号をi,j,kとすると、(i<j<k)とすると、辺を共有しない条件は3≦i<j<k≦11、j-k≧2、k-j≧2 すなわち、3≦i<j-1<k-2≦9 これを満たすi,j-1、k-2の総数は3~9の7個の整数から3個を選ぶ組み合わせの数であるから7C3=35 (2)35×12÷4 (1)はわかるのですが(2)がわかりません。÷4の意味は全くわからないのですが、×12も「i<j<k」なのになぜ12頂点かけているのかがわかりません。 よろしくお願いします。 同型でないことを示す問題です。 正の有理数全体が乗法に関してなす群をG1とします。 また、有理数の加法群をG2とします。 G1とG2は群として同型でないことを示す問題です。 G1とG2が同型であると仮定して、矛盾が生じることで示そうと考えたのですが、まったくわかりませんでした。 どうやって解けばよろしいのでしょうか。 群の問題について 「対称群S5の任意の元σは互いに可換な巡回置換の積として表すことを、{i1,i2,...,ir}∧{j1,j2,...,js}=0ならば巡回置換の積として(i1i2i3・・・ir)(j1j2j3・・・js)=(j1j2j3・・・js)(i1i2i3・・・ir)を証明して、これを利用して可換な巡回置換の積として表したいのですが、まず 、{i1,i2,...,ir}∧{j1,j2,...,js}=0ならば巡回置換の積として(i1i2i3・・・ir)(j1j2j3・・・js)=(j1j2j3・・・js)(i1i2i3・・・ir) が証明できません(泣)わかる方、アドバイスお願いします。 グラフ理論の問題 ちょっとした定理なのですが… Vを頂点集合としてKをVの部分集合とする。KがグラフGのクリークをなすための必要十分条件は、V-K がGの補グラフG^の頂点被覆になることである。 図で証明は出来るのですが、数式ではキビシい感じなんです。 これは一体どうすれば宜しいのでしょうか? 制御基礎の問題 テストに向けて教科書の問題をやっているのですけど、解らない問があるのでお聞きしたいのです。 フィードバック系に関して開ループ伝達関数の周波数応答G(jω) を調べてこのフィードバック系が安定限界となる時、Kの値を求めなさい。 G(s) = k / (2s+2) (S+2) (S+3) r(t) + c(t) R(t)----→○→G(s)--●--→C(s) - ↑ l l l l ---------l というような問題ですけど似たような問が見当たらなくて困っています。 見ため解りづらいですが宜しくお願いします。 線形代数の問題で・・・ 頂点Viを出て頂点Vjに至る長さkの歩道の総数は、行列A^kの(i,j)成分に等しいことを、kに関する帰納法を用いて証明せよ。 という問題を出されました。しかし、いくら考えてもわかりません。どうか、教えてください。 代数学 群の問題 Gをアーベル群、eをGの単位元、kを整数とする。 (1)H={g^k|g∈G}はGの部分群であること (2)N={g∈G|g^k=e}はGの正規部分群であること (3)剰余群G/NはHと同型であること 上記3つを示したいのですが、お力を貸してください。どうぞよろしくお願いします。 二項関係の問題 X=Z×(Z-{0})とし、X上の二項関係ρ1,ρ2をそれぞれ G(ρ1)={((p,q),(r,s))∈X×X|ps=qr} G(ρ2)={((p,q),(r,s))∈X×X|pqs^2≦q^2rs} により定める。 写像f:X×X→Xを f((p,q),(r,s))=(ps+qr,qs) ((p,q),(r,s)∈X) により定める。 (p,q)ρ1(i,j),(r,s)ρ1(k,l)ならば f((p,q),(r,s))=f((i,j),(k,l)) であることを示せ。 という問題に苦戦しています。 条件からpj=qi,rl=skを求めてこれを使って (ps+qr,qs)=f((i,j),(k,l))を示そうとしているんですが どうしても行き詰ってしまいます。 単なる計算ミスなんでしょうか? それとも方針すら間違っているのでしょうか? とける方、どうか教えてください! 代数学の問題 f:G→G'を準同型とする。 (1)Imf⊆G'を示せ (2)KerfがGの正規部分群になることを示せ (3)このfに対する準同型定理を説明せよ(説明不要) という問題なのですがどうしてもわかりません。 解答もなく困っています。 どなたか教えていただけないでしょうか? よろしくお願いいたします。 群論の問題です。 群論の問題です。 整数全体がなす加法群Zに対して、G=Z×Z={ ( a,b ) |a,b ∈ Z } とおき これを成分ごとの加法 ( a , b )+( a' , b' )=( a+a' , b+b' ) により群と見なす。 2元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、 写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a + 6b , 4a + 8b) = ax + by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (1)φは群の同型写像であることを示す。 (2)φによるHの像 K= φ (H) = { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (3)GのKによる剰余群 G / H に対して群の同型 G / H ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (1)、(2)は示すことができたのですが、 (3)の考え方がよくわかりません。 できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです… よろしくお願いします。 代数学 1、群Gが部分集合Sから生成された有限群ならば、Gの任意の元はSの元の積の形であらわせることを示せ。 2、群Gの部分集合HがGの演算で群をつくるならば、HはGの部分群であることを示せ。 3、Hが群Gの部分群、KがHの部分群ならば、KはGの部分群であることを示せ。 こちらの3つ ご教授おねがいします。 対称群 n次の対称群Snについて、次の問に答えよ。 1.σ=(2,3,…,n-1,n)(巡回置換)とするとき、σ^i・(1,2)・σ^(-i)を求めよ。 2.Sn=<(1,2), σ>を示せ。なお、<S>はSが生成する部分群である。 3.f,g,h∈Snをそれぞれ、長さn,n-1,2の巡回置換とする。Sn=<f,g,h>を示せ。 という問題です。1.は解けました。(たぶん(1,2+i)になると思います。違ったら教えてください。)2.もn=3のときなど具体的に考えればなんとなくわかるのですが、示し方が分からなくて困っています。また3.もf^i・g・f^(-i)を考えて(2)を用いるとは思うのですが、示し方が分かりません。 どなたか力を貸して下さい。お願いします。
補足
はい、理解しています。よろしくお願いします。