ベクトル、平面図形

質問

△OABにおいて、辺AB上に点Qをとり、直線OQ上に点Pをとる。ただし、点Pは点Qに関して点Oと反対側にあるとする。3つの三角形△OAP、△OBP、△ABPの面積をそれぞれa、b、cとする。
　→　→　→
(1)OQをOA、OB、およびa、bを用いて表せ。

　 →　→　→
(2)OPをOA、OB、およびa、b、cを用いて表せ。

答え
　　→　 →
(1)bOA＋aOB／a＋b

　　→　 →
(2)bOA＋aOB／a＋b－c

詳解お願いしますm(_ _)m

回答No.1

muturajcp

(1)
a=|△OAP|=|OP||AQ|sin∠OQA
b=|△OBP|=|OP||QB|sin∠OQA
a+b=|OP||AB|sin∠OQA
a/(a+b)=|AQ|/|AB|
b/(a+b)=|QB|/|AB|

OQ=OA+|AQ|(OB-OA)/|AB|
=(|AQ|OB+|QB|OA)/|AB|
=(|QB|/|AB|)OB+(|AQ|/|AB|)OA
=(b/(a+b))OB+(a/(a+b))OA
=(b(OA)+a(OB))/(a+b)

(2)
a+b=|OP||AB|sin∠OQA
c=|AB||PQ|sin∠OQA
a+b-c=|AB||OQ|sin∠OQA
(a+b)/(a+b-c)=|OP|/|OQ|

OP=|OP|OQ/|OQ|
=(|OP|/|OQ|)OQ
=((a+b)/(a+b-c))(b(OA)+a(OB))/(a+b)
=(b(OA)+a(OB))/(a+b-c)