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数学B 平面ベクトル 解答解説お願いします!

ここではベクトルOXをOX'と表しますが、回答者様はご都合の良いように表して頂いて構いません。 O, A, B を OA=4, OB=1, ∠AOB=π/3 なる3点とし, OA'=a' OB'=b' と略記する。 (1) ∠AOBの二等分線g上の任意の1点をPとし, OP'=xa'+yb'と表す時, xとyの間の関係式を求めよ. (2) 線分ABの垂直二等分線h上の任意の1点をQとし, OQ'=xa'+yb'と表す時, xとyの間の関係式を求めよ. (3) (1)のgと(2)のhとの交点をRとし, OR'=xa'+yb'と表す時, x, yの値を求めよ.

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  • 回答No.1
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)

(1) 点Aの座標を(4,0)、点Bの座標を(1/2、√3/2)とします。 一方OPはx軸とπ/6の角をなしているので点Pの座標は実数pを用いて (√3p、p)とあらわすことができます。 ↑OP=x↑OA+y↑OB なので、 4x+y/2:√3y/2=√3p:p=√3:1 これでxとyの関係が導けます。 (2) ↑AB=↑OB-↑OA=(-7/2、√3/2)なので、↑ABに垂直なベクトルは実数qを用いて (√3q、7q)と表すことができます。 また、ABの中点Cは(9/4、√3/4)なので、Cを通りABに垂直な直線上にある点Qは (9/4+√3q、√3/4+7q)と表すことができます。 ↑OQ=x↑OA+y↑OBなので、 4x+y/2=9/4+√3q √3q/2=√3/4+7q であり、 4x+y/2-9/4:√3q/2-√3/4=√3q:7q=√3:7 これでxとyの関係が導けます (3) (1)と(2)の結果を連立させて求めたxとyがgとhの交点になります。

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丁寧な回答有難うございます。 途中で立ち止まってしまったとき・解答し終えたときに 有難く使わせて頂きます。 次回もご縁がありましたら是非よろしくお願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)

ベクトルZをZ↑で表します。 平面上で点O(0,0)、点B(1,0)、点A(4cosπ/3=2,4sinπ/3=2√3)と すると、OA↑=a↑(2,2√3)、OB↑=b↑(1,0)となる。 (1)OP↑はa↑と4b↑を2辺とする平行四辺形の対角線上にあるので、 kを定数としてOP↑=k(a↑+4b↑)でなければならない。 従ってOP↑=xa↑+yb↑と表すなら、x=y/4である。 (2)AB↑=b↑-a↑、ABの中点をCとするとOC↑=a↑+(1/2)AB↑=(1/2)(a↑+b↑) CQ↑=OQ↑-OC↑=xa↑+yb↑-(1/2)(a↑+b↑)=(x-1/2)a↑+(y-1/2)b↑ AB↑(-1,-2√3)・CQ↑(2x+y-3/2,2√3x-√3)=0より-2x-y+3/2-12x+6=0 14x+y=15/2となる。 (3)kを定数としてOR↑=k(a↑+4b↑) CR↑=OR↑-OC↑=k(a↑+4b↑)-(1/2)(a↑+b↑)=(k-1/2)a↑+(4k-1/2)b↑ CR↑(6k-3/2,2√3k-√3)・AB↑(-1,-2√3)=0より 3/2-6k-12k+6=0 18k=15/2 k=5/12 従ってOR↑=(5/12)a↑+5/3b↑=xa↑+yb↑ならx=5/12、y=5/3となる。

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質問者からのお礼

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  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1) OP'=t(a"/a)+t(b'/b)=(t/4)a'+(t/1)b'=xa'+yb' y=t,x=t/4 y=4x ...(A) (2) ABの中点M OM'=(a'+b')/2 AB'=b'-a' 垂直二等分線MQ'=(xa'+yb')-(a'+b')/2=(x-1/2)a'+(y-1/2)b' AB'⊥MQ'より AB'・MQ'=(b'-a')・((x-1/2)a'+(y-1/2)b') =-(x-1/2)a'2+(y-1/2)b'^2+((x-1/2)-(y-1/2))a'b' =-16(x-1/2)+(y-1/2)+(x-y)*4*1*cos(π/3) =-16x+8+y-1/2+2(x-y) =-14x-y+15/2 =0 14x+y=15/2 ∴28x+2y=15 ...(B) (3) OR'=xa'+yb'のx,yは 連立方程式(A),(B)の解として得られるから連立方程式を解けばよい。 解くと x=5/12, y=5/3

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質問者からのお礼

回答有難うございます。 他の質問でも回答してくださっていて本当に助かっていますが、 なんだか時間を奪っているようで恐縮するばかりです。

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