振り子の問題とは？最適な解法とは？
- 振り子の問題について考えてみましょう。質量mで長さ2hの振り子がある場合、振り子が１往復する時間と、右側の領域における変位角θ2を求めたいとします。
- 振り子の１往復する時間は、長さ2hと長さhの振り子の半周期の合計で求めることができます。
- 変位角θ2は、変位角θ1との比を利用して求めることができます。変位角θ2は1/√2倍のθ1になります。
- ベストアンサー
振り子の問題
段差のある天井の交点とする長さ２ｈ・質量mの振り子がある。（図）この振り子が１往復する時間とおもりを支点より左側の領域で初期変位θ＝θ１で静かに離した場合の支点より右側の領域における変位角θ２を求めよ。 という問題なんですが、自分は以下のように考えてみました。 最初に長さが２hとｈのときの周期を求めました。 長さ2ｈの周期 T（２h）＝2π√（2h/g） 長さhの周期 T（h）＝２π√（h/ｇ） １往復する時間は2hの半周期とhの半周期の合計なので T＝1/2T（2h）＋1/2T（h） ＝1/2×2π√（2h/g）＋1/2×2π√（h/g） ＝π√（h/g）×（√2＋1） 次はh2とhの周期比を使い変位角θ2を求めました。 θ1：θ2＝√2：１ θ2＝1/√2θ1 θ1＝θなので 変位角θ2は1/√2θ このような考え方で良いでしょうか? また、間違っている部分や他の解き方などがあれば教えてください。 よろしくお願いします。
- 物理学
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
周期と角振幅は比例のような単純な関係にありません。等時性により，周期は振幅に「ほとんど」無関係です（角振幅が大きいとわずかに増加）。 この問題は典型的なエネルギー保存の問題です。振り子は初めと同じ高さまで上昇しますので， 2h(1-cosθ1) = h(1-cosθ2) の関係が成立します。
その他の回答 (1)
- kinngan-shufu
- ベストアンサー率50% (11/22)
この問題は、振り子の位置エネルギーを考えたほうがよさそうです。 つまり、左側の振り子の位置エネルギーの減分は mg（２h－２hcosθ1） これが、右側の振り子の位置エネルギーの増分に当てられるので、 右側の振り子の位置エネルギーの増分は mg（h―hcosθ2） エネルギー保存則より、上を連立させて、 ２cosθ１＝１+cosθ2 となりませんか？
お礼
ありがとうございました。 たぶんこれを解くとθ2＝√２θ1になりますよね??
関連するQ&A
- 振り子の振動について。
振り子の振動について。 ［問題］ 右半分の糸の長さはL、左半分の糸の長さはL/2となるように、真中に釘を打っている振り子がある。このとき、振り子を初期変位Θ＝αで離した場合、左側の領域における最大角変位βを求めよ。 ［解答］ 初期変位Θ＝αで離したおもりの運動は、 Θ(t)=αcos(t/√(g/L)) であらわされる。 平衡点を通過するときの角速度は、 (Θの１階微分)=-α√(g/L) であり、速度は L×(Θの１階微分)=-α√(gL) どなる。 この値を初期角速度とする長さL/2の振り子の運動は Θ(t)=-√2×αsin(t√2g/L) である。 このため最大角変位はβ=√2αとなる。 --------------------------------- この問題についてなのですが、 (1)Θ(t)=αcos(t/√(g/L))は調和振動のx=Acos(ωn×t+φ)を振り子に変換させていると思うのですが、振り子の方には初期位相角φがありません。これはなぜでしょうか？ (2)『平衡点を通過するときの角速度は、 (Θの１階微分)=-α√(g/L)』 これはなぜでしょうか？ (3)『この値を初期角速度とする長さL/2の振り子の運動は Θ(t)=-√2×αsin(t√2g/L)』 これはなぜでしょうか？ 質問ばかりで申し訳ないですが、この３点をお願いします。 ※Θの上に１ドットついているものは表示できなかったので、(Θの１階微分)と表現しています。
- ベストアンサー
- 物理学
- 振り子の応用
小さい重りに軽くて伸びない糸をつけ、振り子を作った。 Ｏを支点として、重りを水平の位置Ａまで持ち上げて、静かに手を離した。糸が鉛直線まで来た時、糸を切った。 重りは前方にとび、すぐに落ちた。 1回目の 結果：Ｈ（単位ｍ）（Ｈとは支点から地面までの距離）が０、６０。ｈ（単位ｍ）（ｈとは支点から重りの中心までの距離）が０，４０。ｘ（単位ｍ）（ｘとは重りの中心から地面までの距離）が０，２０。ｙ（単位ｍ）（ｙとは重りがとんだ距離、つまり支点と地面を垂直に結んだ交点の地面からおもりが落ちた地点までの距離）が０，８６。ｔ （単位ｓ）（重りが落ちるまでの時間）が０，２０。 この結果より、vo(m/s),mgh(kg・m2/s2),1/2mvo2(kg・m2/s2)（この2は1/2以外全て二乗という意味です） を求めなくてはならないのですが根本的に求め方が分かりません。 ちなみに2回目は順にＨ０，６０ｈ０，３０ｘ０，３０ｙ０，７３ｔ０，２０ 3回目はＨは０，４０ｈ０，２０ｘ０，２０ｙ０，３５ｔ０，２０です。 あとこのことに関する検討・考察に書く事項も見当たりません。ＵＲＬでも良いのでどうか教えてください。 最後に、図がなくわかりにくくなってしまったことをお詫び申し上げます
- ベストアンサー
- 物理学
- 単振り子の周期について
微小振動のときの単振り子の周期に、おもりの大きさは関係して来るでしょうか。 おもりを質点として考えたときと比べ、慣性モーメントの影響があるように思うのですが…間違っていますか？ 影響するなら、周期Tがどのように決まるかも知りたいです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 振り子の重力加速度についてなんですけど…
振り子の周期は、振れ幅、おもりの重さは関係なく、 振り子のひもの長さで変わってくると小５のとき習ったんですけど、 周期を求める公式には T＝2π√L/G と、重力加速度が入っています 重力加速度というのはおもりの質量で決まるんですよね？ 周期にはおもりの質量は必要なのか必要じゃないのか、 よくわかりません（;￣O￣） 物理に詳しい方、中二の自分にもわかりやすい説明で 答えてください(＞人＜;)
- ベストアンサー
- 物理学
- 単振動と微分方程式の問題です
単振動と微分方程式の問題です、よろしくお願いします m(kg)のおもりを吊るした振り子の一端を天井に固定し、さらに水平方向に動くばねの一端をおもりに取り付け、おもりを鉛直下で静止させる。 このとき、ばねはちょうど自然長とする。なお、ばね定数をk(N/m)、重力加速度の大きさをgとする。 ここで、振り子と鉛直線のなす角度をθ(rad)傾けた場合の運動を考える。 (1)静止して釣り合ったおもりの位置を原点Oとして、その原点Oからの水平方向のおもりの変位をx(m)、垂直方向の変位をy(m)として水平方向と垂直方向の２つの運動方程式を立てよ。 ただし、振り子がおもりを引く力をT（N)として、式中に残したままで良い。 (2)振り子の吊り点からおもりの中心までの長さをL(m)とする、振り子と鉛直線とのなす角θが小さい場合、Sinθ=θ、Cosθ=１ と近似されます。これを利用し、水平方向のおもりの微小変位x(m)と垂直方向のおもりの微小変位y(m)を表せ。
- ベストアンサー
- 物理学
- 円錐振り子の問題なんですが答えが合っているか教えてください
円錐振り子の問題なんですが答えが合っているか教えてください 問題 天井から糸でつるした質量100[g]のおもりが、天井と平行な面内を等速円運動している。 このとき、鉛直方向と糸がなす角度がθであった。 このとき、重力加速度の大きさはgは9.8[m/s^2]とする。 問題 （１）おもりは鉛直方向には運動していないことから、おもりに働く力は鉛直方向でつりあっている。これを利用して、張力Tの大きさTをm,g,θで表しなさい。 （２）この等速円運動では、糸の張力Tの水平方向の成分が向心力となって運動を引き起こしている。向心力の大きさをおもりの質量m,円運動の半径ｒ、角速度ωで表しなさい。 自分の回答 （１）T＝ｍｇtanθ （２）T＝ 考えたんですがわからないです。
- 締切済み
- 物理学
お礼
やはり周期と振幅はほとんど無関係なんですね＾＾； 勉強になりました。 ありがとうございました。