単振り子の周期について

質問

微小振動のときの単振り子の周期に、おもりの大きさは関係して来るでしょうか。
おもりを質点として考えたときと比べ、慣性モーメントの影響があるように思うのですが…間違っていますか？

影響するなら、周期Tがどのように決まるかも知りたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

おっしゃるとおりです。おもりの質量M，重力加速度の大きさg，重心までの振子の長さL，鉛直下方からの角変位をθとします。おもりの重心周りの慣性モーメントIとすると，支点周りの慣性モーメントはI+ML^2となりますから，エネルギー保存は
E = 1/2・(I+ML^2)θ' ^2 - MgL cosθ
となります。

ここで微小振動近似により，cosθ=1-θ^2/2を用いて定数をのぞくと，
E = 1/2・(I+ML^2)θ'^2 + 1/2・MgLθ^2

一般の単振動のエネルギー保存
E = 1/2・MX'^2 + 1/2・KX^2
と比べて，

T = 2π√(M/K) = 2π√{ (I + ML^2)/(MgL) }

となると思います。ただし，以上の考察でおもりの角変位は糸の角変位に一致しているという前提があります。糸の質量が無視できない場合は，これらが一致しないことも生じ，２重振子としての考察が必要となります。

お礼

なるほど、例えばおもりが半径ａの球ならば、I＝(2/5)Ma^2で式に代入して考えればよい、ということですね。

ありがとうございました。

回答No.1

shado 1960（@shado_1960）

重さではなく「長さ」　ピサの斜塔から重いものと軽いものを落とした／落ちる速さは一緒。
（あれはホラ話・との事ですが）　振り子も一緒・上始点から落ち始め＝下点で加速終了＝慣性で"上がっていく"上がる力は＝落ちてきた分／故に同じ高さまで上がる。

自分で慣性と言ってるのに”教科書の文字”だけ覚えて、実践が足りない。　＝質問が出るだけ、まだマシだけど。　『慣性モーメント』～うーん　一昔前なら文房具屋にあったアノ”おもちゃ”と言うか”インテリア小道具”と言うか『V字型に５ヶぶら下がった振り子』が一番なんだが　名前はなんだったか？名前が判らんと検索も出来ん!? 弱りました。

お礼

あ、すみません、「重さ」じゃなくて「大きさ」について聞いたんです。慣性モーメントについて考えたって、重さの項は消えちゃいますもんね。

＞『V字型に５ヶぶら下がった振り子』
あー、確かどっかで「Balance Ball」って商品名で売ってました。本来そういう名前かどうかはわかりませんが…。