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単振り子の周期

単振り子の周期TがT=2π√L/gになるのがよくわかりません。 自分はまだ物理に対して未熟で、持っている参考書を見ても書いていません。 どなたか運動方程式を用いての導き方を教えてくださいませんか? 自分の中で納得がいかなくてやり方もわからなく困ってます

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  • 物理学
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  • sanori
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こんにちは。 まず、関係ないのですが、前段として、等加速度直線運動の話をします。 等加速度直線運動は、 質量×加速度 = 質量×a つまり 加速度 = a ( = 定数) これだけです。 これを時刻tで1回積分すると 速度v = ∫adt = a∫1dt = at + C1 となります。 ここで、t=0 のときの v を vo と決めると、 vo = a×0 + C1 = C1 なので、結局 v = at + vo となります。これは、公式として物理の教科書に載っています。 もう一度、時刻tで積分すると位置になります。 位置x = ∫vdt = ∫(at + Vo)dt = a∫tdt + vo∫1dt  = 1/2・at^2 + vot + C2 ここで、t=0 のときの x をゼロと決めると、C2=0 となるので、 x = 1/2・at^2 + vot これも公式として教科書に載っているはずです。 台形の面積を求めるという怪しげな計算方法が載っていますが、実はそれは積分のことなのです。 微分記号で書くと、 a = d^2x/dt^2 v = dx/dt です。 何を言いたかったかというと、位置を時刻で微分すれば速度、速度を時刻で微分すれば加速度になるということです。 では本題です。 単振り子など、単振動の方程式は、 a = d^2x/dt^2 = -kx  (k>0) です。 kはバネ定数(単位はN/m)です。 マイナス記号がついているのは、左に振れたときに右への力、右に振れたときに左への力が働くことを意味しています。 ここから先は大学で習う微分方程式の世界なのですが、左辺にxの2回微分があり、右辺にxがあることに注目すると、 2回微分したときに、もとの関数にマイナスがつくものを考えればよいことになります。 それは、sin や cos です。 cosθ = sin(θ+π/2) であることを考えると、関数は sin でも cos でもよいことがわかります。 周期がTになる sin は x = Asin(2πt/T + C) と表すことができますよね?(重要) (A は片側振幅です) これを t で1回微分すると、合成関数の微分により v = dx/dt = 2π/T・Acos(2πt/T + C) もう1回微分すると、cos の微分は -sin なので、 a = d^2x/dt^2 = -(2π/T)^2・Asin(2πt/T + C)  = -(2π/T)2・x これで、単振動では、 |a| = (2π/T)2・|x| となることがわかりました。 単振り子の場合は、 |a| = |gθ| |x| = Lθ なので、 |gθ| = |(2π/T)2・Lθ| |L/g| = (T/2π)2 g>0、T>0 と決めれば T = 2π√(L/g)

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  • 回答No.2
noname#157574
noname#157574

 私見ですが,単振り子の周期は小学5年ではなく,平方根を習う中学3年に回すべきだと思います。物理学は数式での理解が不可欠ですから。

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