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単振り子の周期

次元解析の所で、単振り子の問題が出てきました。単振り子の周期Tの公式は、2π*√l/g(lは振り子の長さ、そしてgは加速度)という事はインターネット上で分かったのですが、なぜこうなるのかがわかりません。物理学を初めて勉強し始めたので、回答者さんにとっては初歩的なことかもしれませんが、宜しくお願いします。

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振り子は小振幅においても円運動です。円運動の中心角をθ(シーター)として、重力加速度gの円周方向成分gsinθが重りmを静止位置に向かう力mgsinθとなります。重りmが半径lの円周上を動く距離xはx=lθです。 ニュートンの運動方程式F=maは、力Fがmgsinθ、加速度aがd2x/dt2に対応して mgsinθ=md2(lθ)/dt2となります。両辺のmは消えて、定数lは微分の外に出て、 sinθ=(l/g)d2θ/dt2と式が整います。これが振り子の運動方程式ですが非線形方程式であるので解は初等数学では求まりません。しかし振幅が小さければsinθ=θと近似できるので式は θ=(l/g)d2θ/dt2となります。この解はθ=Acos(2πt/T)であり、これを2回微分して比べれば周期Tは√(l/g)であることが分かります。 sinθ=θは線形近似と呼ばれますが振幅の線形近似であって運動を直線近似してるのではありません。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。

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まずは流れを大雑把に書くと 単振り子で振幅が充分小さいと置いて、おもりに着目します。 おもりが水平にxだけ変位したときに、錘にかかる力を計算すると、 F=-mg sinθ=-mg*x/l の復元力が働きます。 と、触れ幅が充分小さいと言う条件下では、おもりが左右に水平振動する、直線運動に近似できます。 運動方程式が m d^2 x/ dt^2 = F = -mg*x/l となります。 これを解くと、固有周波数 ω=√(g/l) の単振動となって 周期T(=2π/ω)が求まります。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。物理の基礎が分かっていないので、完璧にではありませんが、筋は理解出来ました。また、宜しくお願い致します。

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