積分の問題が分かりません。

質問

1/{x^2*√(x^2-1)}を積分する問題で、
t=x+√(x^2-1)とすると、
x=(t^2+1)/2t、
√(x^2-1)=(t^2-1)/2t、
dx=2(t^2+1)/4t^2となり、
∫{2t/(t^2+1)}^2*2t/(t^2-1)*2(t^2+1)/4t^2dt=
∫4t/{(t^2+1)(t^2-1)}dt=
∫-2t/(t^2+1)+1/(t+1)+1/(t-1)dt=
-log|t^2+1|+log|t+1|+log|t-1|=
log|(t^2-1)/(t^2+1)|=
log|2{x^2+x√(x^2-1)-1}/2x{x+x√(x^2-1)}|=
log|x/√(x^2-1)|
となったのですが、回答では√(x^2-1)/xとなるそうです。
何処が間違えているのかどなたかお教え下さい。

回答No.3

debut · ベストアンサー

＞-1/x^2+x√(x^2-1)となるのではないでしょうか？

そうなります。
-1/{x^2+x√(x^2-1)}
=-1/[x{x+√(x^2-1)}]
（有理化して）
=-{x-√(x^2-1)}/x
=-1+{√(x^2-1)/x}
不定積分なので-1を定数Ｃに含めれば√(x^2-1)}/x＋Ｃ
ということじゃあないのでしょうか？

お礼

たしかにそうですね。ありがとうございます。

回答No.2

debut

dxは(t^2-1)/(2t^2)では？
すると最後は∫4t/(t^2+1)^2dtになるのでは？

補足

そうだとしても、2∫2t/(t^2+1)^2dt=
-2/(t^2+1)=
-2/{x^2+2x√(x^2-1)+x^2-1+1}=
-1/x^2+x√(x^2-1)となるのではないでしょうか？

回答No.1

Tacosan

最後のあたりの計算がおかしい.
(t^2-1)/(t^2+1) を
[2{x^2+x√(x^2-1)-1}]/[2x{x+x√(x^2-1)}]
としたところでまず分母を間違えています. そこから
x/√(x^2-1)
とするところは全く不明.
x から t に置き換えるときに
x=(t^2+1)/2t、
√(x^2-1)=(t^2-1)/2t、
としてることをつかえば簡単だったかも.

補足

(t^2-1)/(t^2+1)=
[{x+√(x^2-1)}^2-1]/[{x+√(x^2-1)}^2+1]=
{x^2+2x√(x^2-1)+x^2-1-1}/{x^2+2x√(x^2-1)+x^2-1+1}=
2{x^2+x√(x^2-1)-1}/2x{x+√(x^2-1)}=
{x^2+x√(x^2-1)-1}/x{x+√(x^2-1)}
でした。
それと、検算で、
{x^2+x√(x^2-1)-1}/[x{x+√(x^2-1)}]*x/√(x^2-1)=
x{x^2+x√(x^2-1)-1}/x[x*√(x^2-1)+{√(x^2-1)}]^2=
x{x^2+x√(x^2-1)-1}/x{x√(x^2-1)+x^2-1}=1
なので、log|√(x^2-1)/x|でした。すみません。
x=(t^2+1)/2t、√(x^2-1)=(t^2-1)/2tを使ってみましたが、
t^2+1=2xt、t^2-1=2t√(x^2-1)で、
(t^2-1)/(t^2+1)=
2t√(x^2-1)/2xt=
{√(x^2-1)}^2/x{x+√(x^2-1)}=
{x^2+x√(x^2-1)-1}/x{x+√(x^2-1)}
となり、同じ回答になるはずです。
他にどこか間違っているでしょうか？