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定積分

次の曲線の長さを求めよ (1)y=(1/3)x^(3/2) (0≦x≦12) (2)y=x(2-x) (0≦x≦2) という問題なのですが、 (1)y´=(1/2)x^(1/2) 公式より 長さs=∫[0→12]√(1+{(1/2)x^(1/2)}^2)dx =∫[0→12]√(1+(1/4)x)dx となるんですが、この積分の仕方がわかりません。 お願いします。 (2)y´=2-2x 長さs=∫[0→2]√(1+{2-2x}^2)dx =∫[0→2]√(1+(4-8x+4x^2))dx =∫[0→2]√(4x^2-8x+5)dx =∫[0→2]√{((2x-2)^2)+1}dx t=2x-2とおくとdx=dt/2 x:0→2、t:-2→2 よって =∫[-2→2](1/2)√(t^2+1)dt 公式より =1/4[t√(t^2+1)+log(t+√(t^2+1))][-2→2] =1/4{ {-2√5+log(-2+√5)}-{2√5+log(2+√5)} } =1/4{-4√5+log(-2+√5)-log(2+√5)} となるんですが、答えは√5+1/2log(2+√5)です。 この計算であってますか。どうすれば、答えになるでしょうか? お願いします。

noname#68447

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  • 回答No.5
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

#4です。 補足質問の回答 単に分母の有理化をすればいいだけです。 > log{(2+√5)/(-2+√5)}となるのはわかるのですが、それが > log(2+√5)^2となるところがわかりません。 log{(2+√5)/(-2+√5)} =log{(√5+2)/(√5-2)} =log{(√5+2)(√5+2)/(√5-2)(√5+2)} =log{(√5+2)^2/(5-4)} =log{(√5+2)^2}

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質問者からのお礼

おーなるほど、 おかげでよくわかりました。 ありがとうございます。

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  • 回答No.4
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

(1) > =∫[0→12]√(1+(1/4)x)dx =(1/2)∫[0→12] (x+4)^(1/2) dx =(1/2)[(2/3)(x+4)^(3/2)] [0→12] 後はできますね。 (2) > この計算であってますか。 どうすれば、答えになるでしょうか? > =1/4[t√(t^2+1)+log(t+√(t^2+1))][-2→2] ここまで合っています。以下、2を代入したものから -2を代入したものを引く所を 逆に引いた為式の符号が逆になっています。 以下訂正して式を変形します。 > =1/4{ {-2√5+log(-2+√5)}-{2√5+log(2+√5)} }  × =1/4{ {2√5+log(2+√5)}-{-2√5+log(-2+√5)} } > =1/4{-4√5+log(-2+√5)-log(2+√5)} × =1/4{4√5+log(2+√5)-log(-2+√5)} =√5+(1/4)log{(2+√5)/(-2+√5)} =√5+(1/4)log(2+√5)^2 =√5+(1/2)log(2+√5) これで正解と一致しましたね。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 log(2+√5)-log(-2+√5)}が log{(2+√5)/(-2+√5)}となるのはわかるのですが、それが log(2+√5)^2となるところがわかりません。 すいません・・・。おねがいします。

  • 回答No.3
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)

1. そのまま4+x=tとおいて,dx=dt。積分範囲をxからtに対応する範囲に直せば、後は単にt^(1/2)の積分。 2.は宜しいのでは・・? こっちのほうが積分(部分積分を使う)の計算が厄介ですよね。 f'(x)=1と見るとf(x)=x , g(x)=√(x^2+1)と見るとg'(x)=x/√(x^2+1) I=∫√(t^2+1)dtとおけば、 I=t√(t^2+1)-∫[t^2/√(t^2+1)]dt・・・a t^2/√(t^2+1)=√(t^2+1)-1/√(t^2+1)をaの第二式に代入して I=t√(t^2+1)-I+∫[1/√(t^2+1)]dt よって I=(1/2)[t√(t^2+1)+∫[1/√(t^2+1)]dt]で計算・・・?

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  • 回答No.2
  • nious
  • ベストアンサー率60% (359/594)

#1ですが、一部符号が変ですよ。 素直に2-2x=tan(θ)とおいてみます。すると、 ∫[θ=arctan(2)~arctan(-2)]sec^3(θ)dθ 途中省きますが、∫sec^3(θ)dθ=(1/2){log|sec(θ)+tan(θ)|+sec(θ)tan(θ)}+C より、 =-(1/4){log(√5-2)-2√5-(log(√5+2)+2√5)}=√5+(1/2)log(√5+2)

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 =1/4{ {-2√5+log(-2+√5)}-{2√5+log(2+√5)} } =1/4{-4√5+log(-2+√5)-log(2+√5)} ではなくて =1/4{ {2√5+log(2+√5)}-{-2√5+log(-2+√5)} } =1/4{4√5+log(2+√5)-log(-2+√5)} です。

  • 回答No.1
  • nious
  • ベストアンサー率60% (359/594)

(1)は、1+(x/4)=tとおいて、4∫[t=1~4]√t dt でしょう。 (2)の公式を知らんのですが一般には、2-2x=tan(θ)と置換ですかね。 結局は同じ事になると思いますが少し面倒です。

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質問者からのお礼

∫√(x^2+A)dx=1/2(x√(x^2+A)+Alog|x+√(x^2+A)|) (A≠0) という。公式を使用しています。

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