定積分

質問

次の曲線の長さを求めよ
(1)y=(1/3)x^(3/2) (0≦x≦12)
(2)y=x(2-x) (0≦x≦2)

という問題なのですが、
(1)y´=(1/2)x^(1/2)
公式より
長さs＝∫[0→12]√(1＋{(1/2)x^(1/2)}^2)dx
＝∫[0→12]√(1＋(1/4)x)dx
となるんですが、この積分の仕方がわかりません。
お願いします。
(2)y´=2-2x
長さs＝∫[0→2]√(1＋{2-2x}^2)dx
＝∫[0→2]√(1＋(4-8x+4x^2))dx
＝∫[0→2]√(4x^2-8x＋5)dx
＝∫[0→2]√{((2x-2)^2)＋1}dx
t=2x-2とおくとdx=dt/2　x：0→2、t：-2→2
よって
＝∫[-2→2](1/2)√(t^2＋1)dt
公式より
＝1/4[t√(t^2＋1)＋log(t＋√(t^2＋1))][-2→2]
＝1/4{ {-2√5＋log(-2＋√5)}-{2√5＋log(2＋√5)} }
＝1/4{-4√5＋log(-2＋√5)-log(2＋√5)}
となるんですが、答えは√5＋1/2log(2+√5）です。
この計算であってますか。どうすれば、答えになるでしょうか？
お願いします。

回答No.5

info22

#4です。
補足質問の回答

単に分母の有理化をすればいいだけです。
> log{(2＋√5)/(-2＋√5)}となるのはわかるのですが、それが
> log(2＋√5)^2となるところがわかりません。
log{(2＋√5)/(-2＋√5)}
=log{(√5+2)/(√5-2)}
=log{(√5+2)(√5+2)/(√5-2)(√5+2)}
=log{(√5+2)^2/(5-4)}
=log{(√5+2)^2}

お礼

おーなるほど、
おかげでよくわかりました。
ありがとうございます。

回答No.4

info22

(1)
> ＝∫[0→12]√(1＋(1/4)x)dx
=(1/2)∫[0→12] (x+4)^(1/2) dx
=(1/2)[(2/3)(x+4)^(3/2)] [0→12]
後はできますね。

(2)
>　この計算であってますか。
どうすれば、答えになるでしょうか？
> ＝1/4[t√(t^2＋1)＋log(t＋√(t^2＋1))][-2→2]
ここまで合っています。以下、2を代入したものから
-2を代入したものを引く所を
逆に引いた為式の符号が逆になっています。
以下訂正して式を変形します。

> ＝1/4{ {-2√5＋log(-2＋√5)}-{2√5＋log(2＋√5)} }　　×
＝1/4{ {2√5＋log(2＋√5)}-{-2√5＋log(-2＋√5)} }

> ＝1/4{-4√5＋log(-2＋√5)-log(2＋√5)}　×
＝1/4{4√5＋log(2＋√5)-log(-2＋√5)}
＝√5+(1/4)log{(2＋√5)/(-2＋√5)}
＝√5+(1/4)log(2＋√5)^2
＝√5+(1/2)log(2＋√5)

これで正解と一致しましたね。

お礼

ありがとうございます。
log(2＋√5)-log(-2＋√5)}が
log{(2＋√5)/(-2＋√5)}となるのはわかるのですが、それが
log(2＋√5)^2となるところがわかりません。
すいません・・・。おねがいします。

回答No.3

Ae610

1. そのまま4+x=tとおいて,dx=dt。積分範囲をxからｔに対応する範囲に直せば、後は単にt^(1/2)の積分。

2.は宜しいのでは・・？
こっちのほうが積分（部分積分を使う）の計算が厄介ですよね。
f'(x)=1と見るとf(x)=x , g(x)=√(x^2+1)と見るとg'(x)=x/√(x^2+1)

I=∫√(t^2＋1)dtとおけば、
I=t√(t^2＋1)-∫[t^2/√(t^2＋1)]dt・・・a

t^2/√(t^2＋1)=√(t^2＋1)-1/√(t^2＋1)をaの第二式に代入して
I=t√(t^2＋1)-I+∫[1/√(t^2＋1)]dt
よって
I=(1/2)[t√(t^2＋1)+∫[1/√(t^2＋1)]dt]で計算・・・？

回答No.2

nious

#1ですが、一部符号が変ですよ。
素直に2-2x=tan(θ)とおいてみます。すると、
∫[θ=arctan(2)～arctan(-2)]sec^3(θ)dθ
途中省きますが、∫sec^3(θ)dθ=(1/2){log|sec(θ)+tan(θ)|+sec(θ)tan(θ)}+C より、
=-(1/4){log(√5-2)-2√5-(log(√5+2)+2√5)}=√5+(1/2)log(√5+2)

お礼

ありがとうございます。
＝1/4{ {-2√5＋log(-2＋√5)}-{2√5＋log(2＋√5)} }
＝1/4{-4√5＋log(-2＋√5)-log(2＋√5)}
ではなくて
＝1/4{ {2√5＋log(2＋√5)}-{-2√5＋log(-2＋√5)} }
＝1/4{4√5＋log(2＋√5)-log(-2＋√5)}
です。

回答No.1

nious

(1)は、1+(x/4)=tとおいて、4∫[t=1～4]√t dt でしょう。
(2)の公式を知らんのですが一般には、2-2x=tan(θ)と置換ですかね。
結局は同じ事になると思いますが少し面倒です。

お礼

∫√(x^2+A)dx=1/2(x√(x^2+A)+Alog|x+√(x^2+A)|) (A≠0)
という。公式を使用しています。