不定積分の問題

質問

(1)∫dx/{(2x+1)√(1-x^2)}
(2)∫√(x^2+2x+2)dx/x

という問題です。解答と自分の答えが合わず、どこがまちがっているのか分かりません。指摘していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

(1)t=√{(1+x)/(1-x)}とおく。
dt=1/(1-x)^2*√{(1-x)/(1+x)}dx
与式=∫1/{(2x+1)√(1-x^2)}*(1-x)^2√{(1+x)/(1-x)}dt
=∫(1-x)/(2x+1)dt
=2/3∫1/(t^2-1)dt

ここからどうしたらいいのか分からなくなってしまいました。
また、解答は1/√3*log{(x+1/2)/(x+2+√(3-3x^2))}となっているのですがどうしてこうなるのかさっぱりです。

(2)t=√(x^2+2x+2)+xとおく。
dt={(x+1)/√(x^2+2x+2)+1}dx
=(t+1)/√(x^2+2x+2)dx
与式=∫(x^2+2x+2)/x(t+1)dt

ここから分かりません。
解答はarcsinh(x+1)+√2log{x/(x+2+√(2x^2+4x+4))+√(x^2+2x+2)}となっています。

解答までの導き方も合わせて教えていただけると助かります。
略解しかなく、本当に困っています。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

info22_

(1)
非積分関数が定義されるxの範囲は -1<x<-1/2,-1/2<x<1 …(☆)

定石なら
x=sin(u)で置換積分します。
I=∫dx/{(2x+1)√(1-x^2)}=∫du/{2sin(u)+1}
続いて s=tan(u/2)　で置換積分すると
I=∫2ds/(s^2+4s+1)
=2∫ds/{(s+2)^2-3}
続いてt=s+2 で置換積分すると
I=2∫dt/(t^2-3)
更に t=v√3と置換積分すると
I=(2/√3)∫dv/(v^2-1)
=(1/√3)∫{1/(v-1)-1/(v+1)}dv
=(1/√3)ln|(v-1)/(v+1)| + C1
後は変数 v を置換積分の逆の変換をして元のxに戻せば良いでしょう。
I=(1/√3)ln|(2x+1)/(x+2+√(3-3x^2))| +C (ただし（☆）)
ln(z)はzの自然対数です。
これは解答の式と定数分を除き同じです。定数分は積分定数Cに吸収されますので
実質、同じ解答と言えます。

なお、
>=(2/3)∫1/(t^2-1)dt=J
>ここからどうしたらいいのか分からなくなってしまいました。
これは部分分数に直せば積分できる形です。
J=(1/3)∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=(1/3)ln|(t-1)/(t+1)|+ C

(2)
>与式=∫(x^2+2x+2)/x(t+1)dt
なぜ（あなたが）出来ない変数変換をするんですか?

I=∫√(x^2+2x+2)dx/x=∫√{(x+1)^2+1}dx/x
なのでまず x+1=t　という変数変換をします。
I=∫√(t^2+1)/(t-1) dt
続いて t=tan(s)　という変数変換をします。
I=∫sec^3(s)/(tan(s)-1) ds
更に tan(s/2)=u　という変数変換をします。
I=2∫(u^2+1)^2/{(u^2-1)^2*(u^2+2u-1)} du
部分分数展開して
I=4∫du/(u^2+2u-1)+∫du/(u+1)-∫du/(u-1)-∫du/(u+1)^2+∫du/(u-1)^2
=4∫du/{(u+1)^2-2} +ln|(u+1)/(u-1)|+1/(u+1)-1/(u-1) +C1 …(■)
初項の積分
I1=4∫du/{(u+1)^2-2}
u+1=v√2と変数変換をして
I1=2∫√2dv/(v^2-1)
部分分数展開して
I1=√2{∫dv/(v-1)-∫dv/(v+1)}
　=√2ln|(v-1)/(v+1)| +C2
=√2ln|(u+1-√2)/(u+1+√2)| +C2
(■)に代入
I=√2ln|(u+1-√2)/(u+1+√2)| +ln|(u+1)/(u-1)|+1/(u+1)-1/(u-1) +C
(積分定数C=C1+C2)

後は変数変換を逆順にu→s→t→xと行えば良いですね。