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不定積分の問題
(1)∫dx/{(2x+1)√(1-x^2)} (2)∫√(x^2+2x+2)dx/x という問題です。解答と自分の答えが合わず、どこがまちがっているのか分かりません。指摘していただけないでしょうか。よろしくお願いします。 (1)t=√{(1+x)/(1-x)}とおく。 dt=1/(1-x)^2*√{(1-x)/(1+x)}dx 与式=∫1/{(2x+1)√(1-x^2)}*(1-x)^2√{(1+x)/(1-x)}dt =∫(1-x)/(2x+1)dt =2/3∫1/(t^2-1)dt ここからどうしたらいいのか分からなくなってしまいました。 また、解答は1/√3*log{(x+1/2)/(x+2+√(3-3x^2))}となっているのですがどうしてこうなるのかさっぱりです。 (2)t=√(x^2+2x+2)+xとおく。 dt={(x+1)/√(x^2+2x+2)+1}dx =(t+1)/√(x^2+2x+2)dx 与式=∫(x^2+2x+2)/x(t+1)dt ここから分かりません。 解答はarcsinh(x+1)+√2log{x/(x+2+√(2x^2+4x+4))+√(x^2+2x+2)}となっています。 解答までの導き方も合わせて教えていただけると助かります。 略解しかなく、本当に困っています。 どうかよろしくお願いします。
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- info22_
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(1) 非積分関数が定義されるxの範囲は -1<x<-1/2,-1/2<x<1 …(☆) 定石なら x=sin(u)で置換積分します。 I=∫dx/{(2x+1)√(1-x^2)}=∫du/{2sin(u)+1} 続いて s=tan(u/2) で置換積分すると I=∫2ds/(s^2+4s+1) =2∫ds/{(s+2)^2-3} 続いてt=s+2 で置換積分すると I=2∫dt/(t^2-3) 更に t=v√3と置換積分すると I=(2/√3)∫dv/(v^2-1) =(1/√3)∫{1/(v-1)-1/(v+1)}dv =(1/√3)ln|(v-1)/(v+1)| + C1 後は変数 v を置換積分の逆の変換をして元のxに戻せば良いでしょう。 I=(1/√3)ln|(2x+1)/(x+2+√(3-3x^2))| +C (ただし（☆）) ln(z)はzの自然対数です。 これは解答の式と定数分を除き同じです。定数分は積分定数Cに吸収されますので 実質、同じ解答と言えます。 なお、 >=(2/3)∫1/(t^2-1)dt=J >ここからどうしたらいいのか分からなくなってしまいました。 これは部分分数に直せば積分できる形です。 J=(1/3)∫{1/(t-1)-1/(t+1)}dt =(1/3)ln|(t-1)/(t+1)|+ C (2) >与式=∫(x^2+2x+2)/x(t+1)dt なぜ（あなたが）出来ない変数変換をするんですか? I=∫√(x^2+2x+2)dx/x=∫√{(x+1)^2+1}dx/x なのでまず x+1=t という変数変換をします。 I=∫√(t^2+1)/(t-1) dt 続いて t=tan(s) という変数変換をします。 I=∫sec^3(s)/(tan(s)-1) ds 更に tan(s/2)=u という変数変換をします。 I=2∫(u^2+1)^2/{(u^2-1)^2*(u^2+2u-1)} du 部分分数展開して I=4∫du/(u^2+2u-1)+∫du/(u+1)-∫du/(u-1)-∫du/(u+1)^2+∫du/(u-1)^2 =4∫du/{(u+1)^2-2} +ln|(u+1)/(u-1)|+1/(u+1)-1/(u-1) +C1 …(■) 初項の積分 I1=4∫du/{(u+1)^2-2} u+1=v√2と変数変換をして I1=2∫√2dv/(v^2-1) 部分分数展開して I1=√2{∫dv/(v-1)-∫dv/(v+1)} =√2ln|(v-1)/(v+1)| +C2 =√2ln|(u+1-√2)/(u+1+√2)| +C2 (■)に代入 I=√2ln|(u+1-√2)/(u+1+√2)| +ln|(u+1)/(u-1)|+1/(u+1)-1/(u-1) +C (積分定数C=C1+C2) 後は変数変換を逆順にu→s→t→xと行えば良いですね。
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