AB<AP<ACであることを証明せよ （数A・平面図形）

質問

クリックありがとうございます(∩´∀｀)∩

★∠B＝90°の直角三角形ABCの辺AB上に頂点と異なる点Pをとるとき、
　AB<AP<ACであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

回答No.1

noname#84930 · ベストアンサー

全部書いてしまっていいのかどうか？なので考え方だけを。

直角三角形の斜辺は他の辺より長いのは自明ですからAP<ACだけを証明すればいいですね。これは三平方の定理を使って、「ACの２乗ーAPの２乗」をAB、BP、BCを用いて表して、これが正であることを証明します。そうするとACの２乗＞ＡＰの２乗となり、ＡＣとＡＰは辺の長さなのですから正、したがってＡＣ＞ＡＰとなります。

数式で書かないと判りづらいかもですが。

お礼

回答ありがとうございます！
分かりやすかったですｖ

補足

なるほどです＾＾
自分、図形が苦手なのですが、なんとかできそうですｖ

(AC)^2－(AP)^2
＝｛(AB)^2(BC)^2｝－｛(AB)^2(BP)^2｝
＝(BC)^2－(BP)^2
＝(PC)^2
＞0

って感じですかね…

回答No.3

i_noji

∠ABP＞∠APB
より
AB＜AP
∠APC＞90°＞∠ACP
より
AP＜AC
で
AB＜AP＜AC
じゃダメなんですかね

回答No.2

mister_moonlight

ＡＢ＝a、ＢＣ＝b、ＣＡ＝cとし、ＢＰ＝x、ＣＰ＝b-x、ＡＰ＝yとする。但し、0＜x＜b ‥‥(1)　
題意より、c＞y＞aを示すと良い。
ピタゴラスの定理から、a＾2＋b＾2＝c＾2　‥‥(2)　a＾2＋x＾2＝y＾2　‥‥(3).
(2)－(3)より、b＾2-x＾2＝（b＋x）*（b-x）＝c＾2-y＾2＞0.　∵　(1)　従って、c＞y。
(3)より、x＾2＝y＾2-a＾2＞0より、y＞a。以上より、c＞y＞a。