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AB<AP<ACであることを証明せよ （数A・平面図形）
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全部書いてしまっていいのかどうか？なので考え方だけを。 直角三角形の斜辺は他の辺より長いのは自明ですからAP<ACだけを証明すればいいですね。これは三平方の定理を使って、「ACの２乗ーAPの２乗」をAB、BP、BCを用いて表して、これが正であることを証明します。そうするとACの２乗＞ＡＰの２乗となり、ＡＣとＡＰは辺の長さなのですから正、したがってＡＣ＞ＡＰとなります。 数式で書かないと判りづらいかもですが。
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- i_noji
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∠ABP＞∠APB より AB＜AP ∠APC＞90°＞∠ACP より AP＜AC で AB＜AP＜AC じゃダメなんですかね
- mister_moonlight
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ＡＢ＝a、ＢＣ＝b、ＣＡ＝cとし、ＢＰ＝x、ＣＰ＝b-x、ＡＰ＝yとする。但し、0＜x＜b ‥‥(1) 題意より、c＞y＞aを示すと良い。 ピタゴラスの定理から、a＾2＋b＾2＝c＾2 ‥‥(2) a＾2＋x＾2＝y＾2 ‥‥(3). (2)－(3)より、b＾2-x＾2＝（b＋x）*（b-x）＝c＾2-y＾2＞0. ∵ (1) 従って、c＞y。 (3)より、x＾2＝y＾2-a＾2＞0より、y＞a。以上より、c＞y＞a。
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