証明(数Ａ)

質問

証明の問題です。

画像の通り、△ABCにて、∠Bの外角の二等分線と∠Cの外角の二等分線の交点をPとするとき、Pは∠Aの二等分線上にある。このことを証明しろ。
という問題です。

私的には、この図を下の方に延長して、別の△をイメージ(頂点の一つは、△ABCの∠Aを共有する)。仮にその三角形の二頂点をQ、Pとするなら、∠Qと∠Pに引く二等分線はAPと交差する。これが点P。図の線分ABのBを越える延長と点Pとの垂線は、半径FPの△APQの内接円を作る。点P△APQの内心と言える。

という感じにどんどん訳分からん方向にずれちゃうのです～
どなたかアドバイス下さい。宜しくお願いします。

回答No.5

Mr_Holland · ベストアンサー

＃２です。
　ANo.3のお礼を拝見しました。ありがとう。

　点Pが重複してしまって分かりにくくなっていますが、ここでは新たな三角形を作らずに内心のことを忘れた方が良いと思います。
　傍心を内心の発展と言ったのは、内心と似たようなものに傍心があるという紹介としても意味です。
　ですので、証明に際しては、内心のことも傍心のことも一旦忘れましょう。背理法も不要です。
　ANo.3ではったURLの証明でも同じことをしていますが、直角三角形の合同条件だけを使ってください。
　そのときの証明の流れはANo.2で書いた通りです。

　頑張って！！

お礼

御礼が遅くなりました

傍心やってみました！自分が使っている教科書は10年近く前の数研のものですが、それでも傍心と垂心は扱っておりませんでした。#2さんが示して下さったURLですが、ケータイからのアクセスで容量オーバーで、全て見れるのを探すのに手間取りましたが、探して見つけた甲斐がありました。五心は興味深いですね！
あと、五心の証明には、合同条件が多くの場合で使えることも良く分かりました。

長く付き合って下さり感謝です

回答No.4

Mr_Holland

＃２です。
　お礼をありがとう。

＞△APFが△APEと合同で、APが共通ならば、∠Aの二等分線上にPがくるのは納得出来ますかね

　惜しい！　もう少し！
　ここで使う直角三角形の合同条件は、斜辺と他の１辺が等しい　ですので、他の１辺が等しいことを示してくださいね。
　（実はその前の２行 DP=FP, DP=EP を使って、そのことを示すことができます。）

お礼

分かりました！ やってみます

重ね重ねお礼申し上げます。
但し、今日はもう寝ます！

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　ANo.1の補足を拝見しました。
＞因みに、三角形の内心の応用練習問題です。

　とすると、内心から傍心（三角形の１つの内角の２等分線と他の２外角の２等分線の交点）への発展と考えられます。
　下記の〔定理３〕の〔証明〕を見てください。

http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/newpage26.html

お礼

親切なご回答ありがとうございます！

参考にします。
多分ですが、
点Pは△ABCの内心とは言えない。これは点Pと△ABCのいずれかとの垂線を作って、それを半径とする△ABCの内接円が作れないことからも明確。
では、点Pを内心とする別の三角形について考えてみる。
仮にその三角形の二角をP、Qとする。∠Aの二等分線上に点Pがあり、ABのBを越える延長とACのCを越える延長とが点Pとの垂線を作り、それらを半径とする△APQの内接円を作ってみる。点Pが∠A上にあるならば、垂線FPとEPが等しくなければならず、それにより内接円も描ける。

因みに描いてみました。描けました。多分背理法みたいな証明になるのかなと思います。まだ不安なので、色々アドバイス下されば、助かります。

回答No.2

Mr_Holland

図に多くの直角三角形があるので、これらの合同を使ってはいかがですか？

１）△DPB≡△FPBを示し、DP=FP　を得る。
２）△DPC≡△EPCを示し、DP=EP　を得る。
３）△APF≡△APEを示し、∠PAF=∠PAE　を得る。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

なるほど

△APFが△APEと合同で、APが共通ならば、∠Aの二等分線上にPがくるのは納得出来ますかね

参考にします！回答ありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

∠Aの二等分線と、辺BCの交点をXとおきます。
∠Aの二等分線が点Pを通るという事は、
三点A, X, Pが一直線上にある事になりますよね？
なのでこれを示せば良いです。

三点A, X, Pが一直線上にある事を示すには、
∠AXBと∠PXBを足すと180°になる事を示せばよいです
(言葉だと分かりづらいと思うので、図に描いてみて下さい。
この2つの角を足して180°になると、
A, X, Pが一直線に並ぶ様子が分かると思います)。
あるいは∠AXC + ∠PXC = 180°になる事を示しても良いです。

これを示す時は、∠A、∠Bの外角、∠Cの外角の大きさを文字式で表わして
(例えば∠Bの外角の大きさをbとおきます。
この場合、黒丸一個の角の大きさがb/2になります)、
その文字式で∠AXBや∠PXBを表してみると良いです。
これらの角の大きさを上手く文字で置く事ができると、
∠AXB + ∠PXBが180°になります(置いた文字式が打ち消しあうはずです)。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

ごめんなさい。さっぱり解らないです(泣)

補足

因みに、三角形の内心の応用練習問題です。

伏線に「三角形のある角の二等分線上に点Pがあるならば、角をなす二辺との垂線は等しい」があります。また、「内心は、三つの角の二等分線の交点となる」もあります。
これらを使って証明することは出来ないのでしょうか。