不定積分

質問

ある参考書の問題ですが、∫dx/｛(1+x)√(1+x-x^2)｝がどうしても解けません。置換積分すれば良いのでしょうが、どれをどう置換すれば良いのか教えて下さい。

回答No.2

nious · ベストアンサー

#1ですが、そして

sin(θ)=(2x-1)/√5からcos(θ)=2√{(1+x-x^2)/5}
tan^2(θ/2)={1-cos(θ)}/{1+cos(θ)}から、
2arctan{{(1+x)√5-3√(1+x-x^2)}/(2x-1)}+C になると思います。

お礼

ありがとうございます。とても参考になりました。ただしtan^2(θ/2)ではなくてtan(θ/2)=(1+cosθ)/sinθでOKでした。因に解答はarcSin[(3x+1)/{√5(1+x)}]+cとなっています。多分、arcSin(x/a)=2arcTan√{(a+x)/(a-x)}+(π/2)から導き出せるかもしれません。やってみます。

回答No.1

nious

∫dx/{(1+x)√{(5/4)-(x-1/2)^2}}として、x-(1/2)=(√5/2)sin(θ)と置換。
2∫dθ/(√5sin(θ)+3)、tan(θ/2)=tとおくと
4∫dt/{3(t+√5/3)^2+(4/3)}、t+√5/3=(2/3)tan(u)とおくと、
2*arctan((3t+√5)/2)+C=2*arctan((3tan(θ/2)+√5)/2)+C
=2*arctan((3tan(arcsin((2x-1)/√5)/2)+√5)/2)+C

お礼

Ironman_28です。解答の分母の(1+x)を見て閃きました。(1+x)=1/tとしたら、うまく出来ました。お礼かたがたご報告します。