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不定積分の問題です

不定積分を勉強しています。 ですが、大体は教科書を読んで解けるのですが、次の問題は、どうにもうまくいきません。 どなたか、解説をお願いします。 【1】 ∫dx/(1+x+x^2) 【2】 ∫x^2/(1+x^2) dx 【3】 ∫1/(x^2+3) dx 【4】 ∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) 【5】 ∫√x/(1+x) dx 「いろいろな関数の不定積分」だと思います。 でも、うまく発想しません。 参考にしている教科書は、数研出版の数学IIIです。

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  • info222_
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No.1です。 ANo.1の補足より [5]は >I=∫ (√x)/(1+x) dx √x=tとおけば x=t^2, dx=2tdt I=∫ t/(1+t^2) 2tdt =2∫ t^2/(1+t^2) dt [2]と同じ形なので[2]の結果を用いて I=2{t-tan^-1(t)} +C tをxを戻して =2(√x)-2tan^-1(√x) +C ...(答)

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質問者からのお礼

大変助かりました。 いちばん最初にお答えいただいたので、ベストアンサーにいたしました。 今後ともよろしくお願いします。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
noname#212313

>【1】∫dx/(1+x+x^2) =∫dx/{(x+1/2)^2-1/4+1} =∫dx/{(x+1/2)^2+3/4} =(4/3)∫dx/[{(2/√3)(x+1/2)}^2+1]  u=(2/√3)(x+1/2)と置くと、du=(2/√3)dx  (4/3)∫dx/[{(2/√3)(x+1/2)}^2+1] ={(4/3)/(2/√3)}∫du/(u^2+1) ={(4/3)(√3/2)}∫du/(u^2+1) =(2/√3)∫du/(u^2+1) (後は公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1x+Cで) >【2】∫x^2/(1+x^2)dx =∫{(1+x^2)-1}/(1+x^2)dx =∫dx-∫dx/(1+x^2)dx =x-∫dx/(1+x^2) (後は公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1x+Cで) >【3】∫1/(x^2+3) dx =3∫1/((x/√3)^2+1) dx =(3/√3)∫du/(u^2+1) ←u=x/√3と置いた、du=dx√3 ∴dx=du/√3 =√3∫du/(u^2+1) (後は公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1x+Cで) >【4】∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) =∫1/(√a-x)(√a+x) dx 1/(√a-x)(√a+x)=b/(√a-x)+c/(√a+x)と置く。右辺を計算すると、  b/(√a-x)+c/(√a+x) ={b(√a+x)+c(√a-x)}/(√a-x)(√a+x) ={(b+c)√a+(b-c)x}/(√a-x)(√a+x)  これが1/(√a-x)(√a+x)と等しいゆえに、  (b+c)√a=1, (b-c)=0  このbとcに関する連立1次方程式を解くと、b=c=1/(2√a)となる(a>0より実数であることに注意)。ゆえに、 ∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) =∫1/(√a-x)(√a+x) dx =(1/2√a)∫{1/(√a-x)+1/(√a+x)} dx =(1/2√a)∫dx/(√a-x)+∫dx/(√a+x)} (1次式の逆数の不定積分に帰着できたので、以降は解けるはず。) >【5】∫√x/(1+x) dx =∫√x/(1+√x^2) dx =∫u/(1+u^2)(2u) du ←u=√xと置けば、du=(1/2√x)dx=1/(2u)dx ∴dx=2udu =2∫u^2/(1+u^2) du (↑【2】と同じ形)

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 大変、参考になりました。 また機会があれば、ぜひともお願いします。

  • 回答No.1
  • info222_
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【1】 ∫dx/(1+x+x^2) =∫dx/{(x+(1/2))^2+(3/4)} 公式に当てはめるためにa=1/2,b=(√3)/2とおくと =∫dx/{(x+a)^2+b^2} =(1/b)tan^-1((x+a)/b)+C =(2/√3)tan^-1((2x+1)/√3) +C 【2】 ∫x^2/(1+x^2) dx =∫{1-1/(1+x^2)}dx 公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1(x)を用いて =x-tan^-1(x) +C 【3】 ∫1/(x^2+3) dx 公式∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)tan^-1(x/a)を用いて =(1/√3)tan^-1(x/√3) +C 【4】 ∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0) これは公式そのものです。 =sin^-1(x/a)+C 【5】 ∫√x/(1+x) dx 質問です。 積分する関数は (√x)/(1+x) √(x/(1+x)) のどちらですか?

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質問者からの補足

【5】 (√x)/(1+x) になります。

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