不定積分の問題です

質問

不定積分を勉強しています。
ですが、大体は教科書を読んで解けるのですが、次の問題は、どうにもうまくいきません。
どなたか、解説をお願いします。

【１】
∫dx/(1+x+x^2)

【２】
∫x^2/(1+x^2) dx

【３】
∫1/(x^2+3) dx

【４】
∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0)

【５】
∫√x/(1+x) dx

「いろいろな関数の不定積分」だと思います。
でも、うまく発想しません。
参考にしている教科書は、数研出版の数学IIIです。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足より
[5]は
>I=∫ (√x)/(1+x) dx
√x=tとおけば x=t^2, dx=2tdt
I=∫ t/(1+t^2) 2tdt
=２∫ t^2/(1+t^2) dt
[2]と同じ形なので[2]の結果を用いて
I=2{t-tan^-1(t)} +C
tをxを戻して
=2(√x)-2tan^-1(√x) +C ...(答)

お礼

大変助かりました。
いちばん最初にお答えいただいたので、ベストアンサーにいたしました。
今後ともよろしくお願いします。

回答No.2

noname#212313

>【１】∫dx/(1+x+x^2)
＝∫dx/{(x+1/2)^2-1/4+1}
＝∫dx/{(x+1/2)^2+3/4}
＝(4/3)∫dx/[{(2/√3)(x+1/2)}^2+1]

　u=(2/√3)(x+1/2)と置くと、du=(2/√3)dx

　(4/3)∫dx/[{(2/√3)(x+1/2)}^2+1]
＝{(4/3)/(2/√3)}∫du/(u^2+1)
＝{(4/3)(√3/2)}∫du/(u^2+1)
＝(2/√3)∫du/(u^2+1)

（後は公式∫dx/(1+x^2)＝tan^－1x+Cで）

>【２】∫x^2/(1+x^2)dx
＝∫{(1+x^2)-1}/(1+x^2)dx
＝∫dx-∫dx/(1+x^2)dx
＝x-∫dx/(1+x^2)

（後は公式∫dx/(1+x^2)＝tan^－1x+Cで）

>【３】∫1/(x^2+3) dx
＝3∫1/((x/√3)^2+1) dx
＝(3/√3)∫du/(u^2+1)　←u=x/√3と置いた、du＝dx√3　∴dx=du/√3
＝√3∫du/(u^2+1)

（後は公式∫dx/(1+x^2)＝tan^－1x+Cで）

>【４】∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0)
＝∫1/(√a-x)(√a+x) dx

1/(√a-x)(√a+x)＝b/(√a-x)+c/(√a+x)と置く。右辺を計算すると、

　b/(√a-x)+c/(√a+x)
＝{b(√a+x)+c(√a-x)}/(√a-x)(√a+x)
＝{(b+c)√a+(b-c)x}/(√a-x)(√a+x)

　これが1/(√a-x)(√a+x)と等しいゆえに、

　(b+c)√a=1, (b-c)=0

　このbとcに関する連立1次方程式を解くと、b=c=1/(2√a)となる（a＞0より実数であることに注意）。ゆえに、

∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0)
＝∫1/(√a-x)(√a+x) dx
＝(1/2√a)∫{1/(√a-x)+1/(√a+x)} dx
＝(1/2√a)∫dx/(√a-x)+∫dx/(√a+x)}

（1次式の逆数の不定積分に帰着できたので、以降は解けるはず。）

>【５】∫√x/(1+x) dx
＝∫√x/(1+√x^2) dx
＝∫u/(1+u^2)(2u) du　←u=√xと置けば、du=(1/2√x)dx=1/(2u)dx　∴dx=2udu
＝2∫u^2/(1+u^2) du

（↑【２】と同じ形）

お礼

ありがとうございました。
大変、参考になりました。
また機会があれば、ぜひともお願いします。

回答No.1

info222_

【１】
∫dx/(1+x+x^2)
＝∫dx/{(x+(1/2))^2+(3/4)}
公式に当てはめるためにa=1/2,b=(√3)/2とおくと
＝∫dx/{(x+a)^2+b^2}
=(1/b)tan^-1((x+a)/b)+C
=(2/√3)tan^-1((2x+1)/√3) +C

【２】
∫x^2/(1+x^2) dx
=∫{1-1/(1+x^2)}dx
公式∫dx/(1+x^2)=tan^-1(x)を用いて
=x-tan^-1(x) +C

【３】
∫1/(x^2+3) dx
公式∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)tan^-1(x/a)を用いて
=(1/√3)tan^-1(x/√3) +C

【４】
∫1/(√a^2-x^2) dx (a>0)
これは公式そのものです。
=sin^-1(x/a)+C

【５】
∫√x/(1+x) dx
質問です。
積分する関数は
(√x)/(1+x)
√(x/(1+x))
のどちらですか？

補足

【５】
(√x)/(1+x)
になります。