完全微分形です(._.?) ン?

質問

微分方程式で　y' = dy/dx とします。

(5*x*y^4 + x) + (10*x^2*y^3 - 3*y^2 -　2)*y' = 0

なんですけど、だれか詳しい計算の方法を教えてください。
よろしくお願いしますエ(_^_)エ！

回答No.2

mmky · ベストアンサー

mmkyです。
No.1のmcurryさんの回答通りです。
積分と偏微分記号が出ないということなので記号についての
mcurryさんへの援護まで。

(5*x*y^4 + x) + (10*x^2*y^3 - 3*y^2 -　2)*ｄy/ｄx = 0

U=f(x,y)
dU=(∂f/∂x)∂x+(∂f/∂y)∂y
(∂f/∂x)∂x+(∂f/∂y)∂y=0

∫(∂f/∂x)dx=(5/2)x＾2*y^4 + (1/2)x＾2+C1
∫(∂f/∂ｙ)dｙ=(5/2)x＾2*y^4 + ｙ＾3-2ｙ+C2

だからf(x,y)は,上記の結果から、
U=f(x,y)=(5/2)x＾2*y^4 + ｙ＾3-2ｙ+(1/2)x＾2+C

ここで得られたU=f(x,y)を再度全微分の形にすると
dU=(5*x*y^4 + x)∂x + (10*x^2*y^3 - 3*y^2 -　2)∂y
で確かに与式になりますね。
（No.1のmcurryさんの通り。）
参考程度まで

回答No.1

mcurry

はじめまして。

一般に
u=u(x,y)=constant
のとき
du=Pdx+Qdy=0

P=du/dx, Q=du/dy （ここのdは偏微分ね・・書けないけど）

問題は
(5*x*y^4 + x)dx + (10*x^2*y^3 - 3*y^2 -　2)*dy=0

より、

P=5*x*y^4 + x=du/dx これをxで定積分して

u=ＳPdx・・・・・・(Ｓはインテグラル・・・・積分記号がかけなーい）
=5/2*x^2*y^4+1/2*x^2+const(y)

これをｙで偏微分したものが
10*x^2*y^3 - 3*y^2 -　2になるので

dconst(y)/dy= - 3*y^2 -　2

const(y)=-y^3-2y+constant

よって、
u=5/2*x^2*y^4+1/2*x^2-y^3-2y+constant=0

5/2*x^2*y^4+1/2*x^2-y^3-2y=constant

です。