数列について

質問

Sn＝Σ１／（２ｋ+１)（２ｋ-１）
　　　＝Σ１／２(１／２ｋ-１）(１／２k＋1）になる理由を説明していただけないでしょうか。ちなみに、Σの上にくる文字はｎで下にはｋ＝１があてはまります。少しみにくいですが回答をお願いします。

回答No.4

fushigichan

こんばんは。シグマはｋの式において、Ｋに１からＮまでの数字を
（整数）代入していったものの総和、という意味です。

さて、総和を取るべき式をみてみましょう。
1/(2k+1)(2k-1)=1/2×{(2k+1)/(2k+1)(2k-1)-(2k-1)/(2k+1)(2k-1)}
　　　　　　　=1/2×{1/(2k-1)-1/(2k+1)}
と、変形できますから、これにkのところに1,2,3,・・・Nを
順次代入していき、その総和を考えればいいことになります。

2Sn=1/1-1/3
+1/3-1/5
+1/5-1/7
　・・・　

+1/(2n-1)-1/(2n+1)
となります。ここで、-1/3+1/3・・・のように、斜めの部分が
消されるので、2Snが1-1/(2n+1)となります。
よってSnが求められます。がんばってくださいね！

お礼

毎回丁寧な解説をしてくださるので、とても助かります。ありがとうございます、いつもいつも・・。

回答No.3

fushigichan

こんばんは。シグマはｋの式において、Ｋに１からＮまでの数字を
（整数）代入していったものの総和、という意味です。

さて、総和を取るべき式をみてみましょう。
1/(2k+1)(2k-1)=1/2×{(2k+1)/(2k+1)(2k-1)-(2k-1)/(2k+1)(2k-1)}
　　　　　　　=1/2×{1/(2k-1)-1/(2k+1)}
と、変形できますから、これにkのところに1,2,3,・・・Nを
順次代入していき、その総和を考えればいいことになります。

2Sn=1/1-1/3
+1/3=1/5
+1/5-1/7
　・・・　

+1/(2n-1)-1/(2n+1)
となります。ここで、-1/3+1/3・・・のように、斜めの部分が
消されるので、2Snが1-1/(2n+1)となります。
よってSnが求められます。がんばってくださいね！

回答No.2

moby2002

＝Σ１／２{(１／２ｋ-１）－(１／２k＋1）}ですよね？

実際に
1/2{(1/2k-1)-(1/2k+1)}
は
1/(2k+1)(2k-1)
になります。計算してみてください。
この数列の問題は有名で、この事実を知っている上で
1/(2k+1)(2k-1)=a/(2k-1)-a/(2k+1)
とおいて、aを求めるのが定石です。

お礼

計算できました。ありがとうございました。

回答No.1

TK0318

なぜと言われても「計算したらそうなるからです」としか言えません。

１／２(１／２ｋ-１）(１／２k＋1）を計算したら
１／（２ｋ+１)（２ｋ-１）になることを確認してください。