群数列の和

質問

下の表は自然数をある規則にしたがって、右方および下方に限りなく並べたものである。

１　１　１　１　１　１……
１　２　３　４　５　６……
１　３　５　７　９　11……
１　４　７　10　13　16　
１　５　９　13　17　21
１　６　11　16　21　26
１　：　：
１　：　：

上からｍ番目にある数をＮ(ｍ、ｎ)とする
｜1,1｜1,2,1｜1,3,3,1｜1,4,5,4,1｜…と表のＮ(ｋ、1)からＮ(1、ｋ)まで斜めの群をとるとき、第ｋ群の和は何でしょうか

ちなみに答えは
1/6ｋ(ｋ＾2－３ｋ＋８）
※ｋ＾2　とはｋの二乗です

回答No.1

kiriburi · ベストアンサー

第ｋ群の和をa(k)とする
a(k) =a(k-1)+(k-1)(k-2)/2+1……(1)
a(k-1)=a(k-2)+(k-2)(k-3)/2+1
a(k-2)=a(k-3)+(k-3)(k-4)/2+1
　・
　・
　・
a(2) =a(1) +(2-1)(2-2)/2+1
+)a(1) = (1-1)(1-2)/2+1
--------------------------------
a(k) = Σ((k-1)(k-2)/2)+k
これを解くと
a(k)=k(k^2-3k+8)/6

(1)式は第k-1群と第k群の1列目，2列目…の差を取ってみるとわかります。