群数列の解き方、教えてください!

このQ&Aのポイント
  • 群数列の解き方や問題の解法について教えてください。
  • 群数列の典型的な問題や公務員試験レベルで押さえておくべき問題についても教えてください。
  • 群数列の公式や特徴的な性質についても知りたいです。
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群数列の解き方、教えてください!

公務員試験の対策に問題集を解いています。 つぎの問題の解法を教えてください。 第n項がAn(「A」は大きい「a」の文字です)=2n-1(n=1,2,3,4)である数列{An}を、 下のようにA1、A2を1群、A3、A4、A5、A6を第2群、A7、A8、A9…A14を第3群……とし、 第m群が2m乗の項を含むように区分する。 1,3,|5,7,9,11,|13,15,17,19,21,23,25,27,|29,……… このとき、第m群の最初の項はいくつか。 またこの問題の他にも、 群数列の典型的な問題 (ex.) 第n群の項の和を求めよ。 〇〇は第何群の第1項から数えて何番目の項か。 )など、 公務員試験レベルで押さえておいた方がいい問題、その解法、公式など教えて頂ければ幸いです。

質問者が選んだベストアンサー

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  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.1

こんばんわ。 >公務員試験レベルで押さえておいた方がいい 群数列はなかなか手ごわいですよね。正直、センタ試験でも出るくらいですし。 センタ試験でも何度か問題は出ているので、その辺りを解いてみるのもいいかと思います。 私なりに、以下いろいろと書いてみます。 参考になれば幸いです。 (1) 群数列には、 ・もとの数列:A(n)と ・第 p群に属している項数:G(p) の 2つの数列が絡んできます。 いまの問題であれば、A(n)= 2n-1、G(p)= 2^pとなっています。 (2) 第 p群の第 1項が全体で何番目になるかを求めます。 (第 p群の最後が全体で何番目になるかでもいいです。) これは必ず必要になる計算です。 第 p群の第 1項は、第 p-1群の最後の項の次ですから 全体では、Σ[k=1~p-1] G(k) + 1番目として求められます。 これも、いまの問題に当てはめると、第 p群の第 1項は全体で Σ[k=1~p-1] 2^k + 1= 2^p- 1 番目になります。 これがわかると、第 p群の第 1項にある数は A(2^p-1)= 2(2^p- 1)- 1= 2^(p+1)- 3と求められます。 (3) 群数列は、群=丁目、番目=番地のような感じになります(と思っています)。 「〇〇は第何群の第1項から数えて何番目の項か」といった問題では、 ・まず、何丁目(第何群)にあって ・その中で、何番地なのか という順番で求めていきます。 このときにも (2)で求めた「群の先頭」が利いてきます。 不等式で第何群に属しているのか、絞り込んでいくことになります。 正直、わかりにくいところもあるかもしれません。 また、補足してください。

dx14c2u6
質問者

補足

naniwacchiさん、ご回答ありがとうございます。 さっそく自分でも解いてみたのですが、計算過程でおかしなことになってしまいました('A`) 「第 m群の第 1項は、第 m-1群の最後の項の次ですから 全体では、Σ[k=1~m-1] G(k) + 1番目として求められます。」 という部分は頭では理解でき、式を解いてみたのですが 私がすると Σ[k=1~m-1] 2^k + 1 = (m-1)m/2+1となり、これを解いても m^2-m+2/2 という結果になり、そこで止まってしまいました。 シグマの計算の仕方で、 Σ[k=1~n]k=n(n+1)/2 という公式を使ったのですが、これがまずかったでしょうか・・・? 丁寧にご回答くださっているのにアホですみません…゜(゜´Д`゜)゜

その他の回答 (5)

  • puusannya
  • ベストアンサー率41% (59/142)
回答No.6

No.2の解答者ですが、数列などを使って書いたほうがいいのなら、次のように考えました。 m群の最初に来る数は、その数が前からn番目の数であるとすると、2n+1 ですから、 m群の最初の数は前から何番目の数かが問題になるわけです。 1群に2個、2群に4個、・・・・m群に2m個 の数が使われているので、 その合計は、それらが初項2、公差2の等差数列なので、m-1項までの和は (m-1)(4+2(m-2))/2=m(m-1) m群の最初の数はこの次の数ですから、m(mー1)+1=m^2-m+1 番目の数になります。 だから m群の最初の数は 2(m^2-m+1)ー1=2m^2-2m+1 「第m-1群迄に含まれている数の合計は  各群に含まれている数の個数が、初項2、公差2の等差数列をなしているので、 m(m-1) と表される。 だから m群の最初の数は 2(m^2-m+1)ー1=2m^2-2m+1 である。」   答案とすればこれくらいの形でいいのでしょうか。

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.5

#4です。 こちらこそ、たびたび読み間違いをしているようですみません。>_< 「2m乗」とは、「2の m乗」ということですよね・・・ そうすれば、#1の回答で述べている以下の部分で、pを mに読み替えればよいかと。 ------------------------------------------------------------- >これも、いまの問題に当てはめると、第 p群の第 1項は全体で >Σ[k=1~p-1] 2^k + 1= 2^p- 1 番目になります。 >これがわかると、第 p群の第 1項にある数は >A(2^p-1)= 2(2^p- 1)- 1= 2^(p+1)- 3と求められます。 ------------------------------------------------------------- 上半分に関する式は、#3で添付している式になります。 とにかく群数列は、「どちらの数列を計算しているのか」を見失いやすいです。 nとか mという変数も、なるだけ同じものを使わないようにするといった 工夫もした方がいいと思います。 たとえば、 ・もとの数列を表すときには、「n」を用いて、 ・第何群の何番目については、「第 p群の q番目」と表す。 といった感じです。

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.4

#3です。 >すみません、#1さんは何をもってこれが等比数列だと見極められたのでしょうか? >数列An=2n-1という「2」の部分ですか? >「第m項群が2^m」という部分ですか? 後者の「第 m群に含まれる項の数が 2^m個だから」になります。 と思ったのですが・・・、問題文を見落としていましたね。 「第m群が2m乗の項を含むように区分する。」 なので、訂正です。 Σ[k=1~m-1] (2m)+ 1= (m-1)m+ 1 失礼しました。

dx14c2u6
質問者

補足

たびたびすみません。 #1さんの解法、最初ので当っていると思います。 というのも添付してくださった数式が、問題集の解答にまるまる載っていて。正解も当初#1さんが解いてくださっていた通り、 2~m+1-3となっていました。 もう一度、なぜ添付のような式になったのか教えて頂いていいでしょうか? (等比数列の和の公式と、少し違った式だったので;)

  • naniwacchi
  • ベストアンサー率47% (942/1970)
回答No.3

#1です。 >私がすると >Σ[k=1~m-1] 2^k + 1 >= (m-1)m/2+1となり、これを解いても テキストにすると、見づらいかもしれませんね。 「等比数列の和」を計算しないといけません。 添付に数式としたものを載せておきます。

dx14c2u6
質問者

補足

すみません、#1さんは何をもってこれが等比数列だと見極められたのでしょうか? 数列An=2n-1という「2」の部分ですか? 「第m項群が2^m」という部分ですか? わからなくなってきました…(-"-) でもわかりたいです!回答お願いします!!

  • puusannya
  • ベストアンサー率41% (59/142)
回答No.2

公務員試験の事に関しましてはまったく知識がありませんので、お許しください。 ご質問あった問題に関してのみ書かせていただきます。 1群・・・1,3=4-1=1×2×2-1 2群・・・5,7,9、11=12-1=2×3×2-1 3群・・・13,15,17,19,21、23=24-1=3×4×2-1 m-1群・・・ ・ ・ ・   (m-1)×m×2-1 と、一番末尾に書かれている数の次の数4,12,24に注目して、この数列の各項と群の数とのつながりを考えました。一番後ろに来る数に着目し、奇数は考えにくいので、その前後の偶数を使って考えることが多かったように思います。   m群の最初の数は 2m(m-1)ー1+2=2m(m-1)+1

dx14c2u6
質問者

お礼

回答いただき、ありがとうございます。 自分でも計算してみます!

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