群数列の問題です。

質問

自然数を図のように並べるとき、一番上の段の左からｎ番目の数をｎの式で表せ。

１３６1015
２５９14
４８13
７12
11
が図です。全角は一桁、半角二つのは二桁です。

(1)一番上の段の左からｎ番目の数をｎの式で表せ。
Ａ．1/2・ｎ・（ｎ+1）これはわかりました。

(2)500は、左から何番目、上から何段目にあるか。
500が郡数列１）２，３）４，５，６）・・・の第32群、第4項であり、左から4番目というところまではわかったのですが、上から何段目になるのかが、よくわかりません。
答えは29なのですが。

(3)左からｎ番目、上からｍ番目の数をｎとｍの式で表せ。
この問題は手が着きません・・。

(2)と(3)の解説をお願いしたいのですが、
皆さまよろしくおねがいしますm（__）m

回答No.4

arit · ベストアンサー

さらに一般的にした問題ですね・・・(^_^)/

(2)
n=31のときAn=31・32/2=496なのでたしかに500は次の第32群の第４項です。
で、497,498,499,500と一番左の、上から32番目から斜めに並んでいくわけです。
１　３　６　・・・　496　　　
２　５
４
７　　　　　
・　　　　　500←上から29番目
・　　　499
・　498
497←上から32番目
ね、上から29番目でしょ(-_-)ウーム

(3)
この書き込みではちょっと説明しにくいのですが、

　　　　　　　　　　　　ｎ番目
　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　１　３　６　・　・
　　　　　２　　　　　・
　　　　　４　　　　　・
　ｍ番目→・　・　・　・　Amn
　ｎ番目→・
　　　　　・
ｍ＋ｎ－１・
　　　番目

Amnは第m+n-1群の第n項になります。
この図だとなんだかわからないですが、具体的な数で確かめてください。(^_^;)

すると、
Amn=(第m+n-2群の最後の数)+n
=(m+n-2)(m+n-1)/2 +n
=((m+n)^2-3m-n+2)/2
と、なります。
なんかすごい式ですが、あってます/(-_-)ヽ

説明不足を承知で、いかがでしょうか？

お礼

(2)の問題は具体的に数字をいれてみるとすぐわかりました！
式とにらめっこしてちゃダメでした（__；
ありがとうございました。

補足

(3)の答えの記入を忘れてました。
Ａ．1/2（ｍ＋ｎ-2）（ｍ＋ｎ-1）＋ｎ
と書いてありました。
皆さま申し訳ありませんでした。

回答No.5

tksoft

#3の回答者です。
やっぱり、いきなり「第s群の・・・」なんて出しちゃだめですよね(^^ゞ、補足説明です。
ある、任意の群を選び、それを「第s群」とします。この「第s群」に属する数で上からm段目の数を求めたいときは、まず、この「第s群」の1段目の数つまり左からs番目の数を求めます。問(1)よりこれは
(1/2)*s*(s+1)
と、なります。上からm段目の数というのはこの数【(1/2)*s*(s+1)】からm-1を引いてやればいいんです。つまり
(1/2)*s*(s+1)-(m-1)
ですね。これは図をじっくり見ると分かります。というかこの辺がパズルみたいな解き方ですね(^^ゞ

この問題では第s群というのは実はn+m-1(実際に求めたい群)なので、
(1/2)*(n+m-1)*(n+m-1+1)-(m-1)
=(1/2)*(n+m-1)*(n+m)-(m-1)
となります。

ん～説明って難しいですね(^^ゞ
皆さんの式(含模範解答)は形が全部違うけどExcelで計算式を設定しmとnに適当な数字を入れるとピッタリ同じ数字が並びますね～なんか凄いですヽ(^o^)丿

お礼

補足していただいてどうもありがとうございますm（＿）m
なるほど！です。ありがとございます！

数列って特にパズルみたいですよね～
頭が堅いと、大変です・・。

てか模範解答も複数掲載してほしいですね、この問題は解き方がたくさんあるようなので。

tksoftさん皆さんどうもありがとうございました！

回答No.3

tksoft

(2)について
この図を良く見ると、第1群は1段1行、第2群は2段2行・・・第n群はn段n行となることがわかります。このとき右から4番目ということは、下からも4番目になります。つまり上からはn-4+1番目、第32群ですから
32-4+1=29番目になります。

(3)について
これは左からn+m-1番目の数からm-1を引いたものになります。
左からn番目ということは第n群ですよね、ここから下へ一段下がればそこはn+1群に属する数ということになります。第ｓ群の上からm段目の数は(1/2)*s*(s+1)-(m-1)となり、s=n+m-1ですから・・・
(1/2)*(n+m-1)*(n+m)-(m-1)
となります。

なんか、最近数学をやってないのでまるでパズルを解くような解法になってしまいましたがこんなもんでよろしいでしょうか(^^ゞ

お礼

いえいえ、パズルを解くようにとはとても頭がやらかいんだなとうらやましいです（^^；
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

補足

わからないところがあるのですが、お聞きしてもよろしいでしょうか？
(3)のところなのですが、
＞左からn番目ということは第n群ですよね、ここから下へ一段下がればそこはn+1群に属する数ということになります。
＞第ｓ群の上からm段目の数は(1/2)*s*(s+1)-(m-1)となり、
上の引用文のところはなんとか理解できたのですが、
したのところがなぜこうなるのかがよくわかりません。
よかったら教えて下さいm（__）m

回答No.2

weasel

まず（３）から求めたい数列をＡｎとする。
列で見ると全て階差数列になっていますよね。
そして初項は（1）より1／2・n・（ｎ＋1）です。
階差をＢｎであらわすと
初項はｎ、公差１です。
これより
Ｂｎ＝ｎ＋（ｍ＋１）
となり。　
　　　　　　　　　　　　　m-1　　
Ａｎ＝1／2・n・（ｎ＋1）＋Σｎ＋（ｍ＋１）
k=1
＝1／2・n・（ｎ＋1）＋｛（ｍ－1）・ｎ＋1／2ｍ（ｍ－１）＋（ｍ－1）｝
　　＝　1／2・n・（ｎ＋1）＋（ｍ－１）（ｎ＋1／2ｍ－1）
になります。（形が汚いけど。）

（2）のほうは手作業で求めました。
1／2・n・（ｎ＋1）≧５００
　　　n・（ｎ＋1）≧１０００
だから３０＾２＝９００
この辺だから計算していくと
３１・３２＝９９６
３２・３３＝１０５６
だからｎ＝３２、またそのとき一番上の数字は
５２８
５００は
５２８－５００＋１＝２９
３２－２９＋１＝４
よってｎ＝４、ｍ＝２９

お礼

どうもありがとうございます。
数学って大変だなぁとかんじます（^^；
どうもありがとうございました。

回答No.1

keiri2002

とりあえず（3）だけ
　(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(1)１３６101521
(2)２５９1420
(3)４８1319
(4)７1218
(5)1117
(6)16

ｍ段目の一般項　Σはｋ＝1からｎ-1まで
1+Σ(ｋ+1)＝（ｍ^2-ｍ+2）/2

左からｎ番目、上からｍ段目は初項（ｍ^2-ｍ+2）/2で項差1の階差数列
ところでこの階差数列の初項がｍ+1である。
例えば(3)の場合4、5・・・
　　　(4)の場合5、6・・・
よってこの階差数列はΣ(ｋ+ｍ）である。(ｋ＝1からｎ-1まで）ｋが1からなので+（ｍ+1）じゃなくて+ｍ。
ゆえに一般項は（ｍ^2-ｍ+2）/2+Σ(ｋ+ｍ）
　　　　　　　＝（ｍ^2-ｍ+2）/2+ｎ(ｎ-1）/2+ｍ(ｎ-1）

お礼

どうもありがとうございます。
数列って難しいなーと思ってしまいます！
参考になりました！