数列について

質問

「A1=5 An+1=-3An+4 (n=1,2,3,…)のときSn=∑(n→k=1)Ak と定義する。このとき|S1|,|S2|,|S3|…の項のうち3の倍数になるものを小さい順に並べてできる数列を｛Bn｝とするとき∑(2m→k=1)Bkを求めよ」

について教えてくださいお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞「A1=5 An+1=-3An+4 (n=1,2,3,…)のときSn=∑(n→k=1)Ak と定義する。
＞このとき|S1|,|S2|,|S3|…の項のうち3の倍数になるものを小さい順に並べてできる数列を
＞｛Bn｝とするとき∑(2n→k=1)Bkを求めよ」
A1=5 An+1=-3An+4 (n=1,2,3,…)より、
ａ＝－３ａ＋４とおくと、４ａ＝４より、ａ＝１
よって、Ａn+1－１＝－３（Ａn－１）と書ける。
Ａn－１＝－３（Ａn-1－１）
　……
Ａ3－１＝－３（Ａ2－１）
Ａ2－１＝－３（Ａ1－１）
上の式の右辺に下の式を代入していくと、
Ａn－１＝（－３）^(n-1)（Ａ1－１）
Ａ1－１＝５－１＝４だから、
Ａn＝１＋４・（－３）^(n-1)（ｎ≧２）
Ａ1＝１＋４・（－３）^0＝５だから、
ｎ＝１のときも上の式を満たす。
よって、Ａn＝１＋４・（－３）^(n-1)（ｎ≧１）

Ｓn＝Σ（ｋ＝１～n）Ａk
＝Σ１＋Σ４・（－３）^(k-1)
＝ｎ＋４｛１－（－３）^n｝／｛１－（－３）｝
＝ｎ＋１－（－３）^n
|S1|,|S2|,|S3|…の項のうち3の倍数になるものは、
ｂ1＝｜Ｓ2｜＝｜－６｜＝－３・１＋（－３）^（３・１－１）
ｂ2＝｜Ｓ5｜＝｜２４９｜＝３・２－（－３）^（３・２－１）
ｂ3＝｜Ｓ8｜＝｜－６５５２｜＝－３・３＋（－３）^（３・３－１）
　　　　………
ｂ2n-1＝－３・（２ｎ－１）＋（－３）^｛３・（２ｎ－１）－１｝
ｂ2n＝３・２ｎ－（－３）^（３・２ｎ－１）

Ｓ2n＝∑(2n→k=1)Bk　奇数項と偶数項に分けて書くと
＝｛－３・１＋（－３）^(3・1-1)－３・３＋（－３）^(3・3-1)＋……｝
＋｛３・２－（－３）^(3・2-1)＋３・４－（－３）^(3・4-1)＋……｝
＝｛－３・１＋３^2－３・３＋３^2・３^6＋……｝
＋｛３・２＋３^5＋３・４＋３^5・３^6＋……｝
＝Σ（ｋ＝１～ｎ）（－６ｋ＋３）＋Σ（ｋ＝１～ｎ）３^2・（３^6）^(k-1)
＋Σ（ｋ＝１～ｎ）６ｋ＋Σ（ｋ＝１～ｎ）３^5・（３^6）^(k-1)
＝Σ（ｋ＝１～ｎ）３＋｛９（７２９^n－１）／（７２９－１）｝
＋｛２４３（７２９^n－１）／（７２９－１）｝
＝３ｎ＋｛（９＋２４３）（７２９^n－１）／７２８｝
＝３ｎ＋（６３／１８２）・（７２９^n－１）（ｎ≧１）

ｎ＝１のとき、Ｓ2＝ｂ1＋ｂ2
ｎ＝２のとき、Ｓ4＝ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋ｂ4　
以下同じ……　です。

どうでしょうか？

回答No.1

asuncion

＞∑(2m→k=1)Bk

2つ疑問があります。
1)このΣは、B1, B2, B3, ..., B_2m－1, B_2m についての和を求める、という意味ですか？
2)mは、ここで始めて登場しているように見えます。nか何かの書き間違いですか？

補足

ややこしくてすいません

まず２）について「ｎ」の書き間違いです。
１）ついてその通りでBkをk=1～2nまで足した和を求めることです。