対数を含む数列

質問

a[n]＝log[10]{(n+2)/n}を満たす数列{a[n]}がある。
Sn＝Σ[k＝1,n]{a[k]}とおく。
(1)Sn＝log[10](ア/イn＾2+ウ/エn+オ)
であり、Snが初めて2を超えるときのnの値は
n＝カキである。

(2)b[n]＝10＾(Sn)とおく。
b[1]＝ク,b[2]＝ケであり、
Σ[k＝1,10]{1/b[n]}＝コ/サ
である。

という問題です。

(1)log[10]{(k+2)/k}＝log[10](k+2)-log[10]kとしても
　log[10]{(k+2)/k}＝log[10]{1+(2/k)}としても
Σの計算で行き詰まってしまいます。

よろしくお願いします。

回答No.3

ccyuki · ベストアンサー

表示するときに対数の底[10]は省略します。
(1)Sn＝Σ[k＝1,n]{a[k]
　　=Σ[k＝1,n]{log{(k+2)/k｝
　=log3/1+log4/2+log5/3+・・・+log(n+1)/(n-1)+log(n+2)/n
　=log{3/1×4/2×5/3×・・・×(n+1)/(n-1)×(n+2)/n}
　=log{(n+1)(n+2)/(1×2)}=log{(1/2)n^2+(3/2)n+1}
次に　log{(n+1)(n+2)/(1×2)}>2　より
　　　log{(n+1)(n+2)/(1×2)}>log10^2
よって　(n+1)(n+2)/(1×2)>100
　　　　　　(n+1)(n+2)>200　　より　最小のnは13
(2)b[n]＝10＾(Sn)=10^{log{(n+1)(n+2)/(1×2)}
=(n+1)(n+2)/2
Σ[k＝1,10]{1/b[k]}=Σ[k＝1,10]{2/(k+1)(k+2)}
=Σ[k＝1,10][2{1/(k+1)-1/(k+2)}]
=2{(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+・・・+(1/10-1/11)+(1/11-1/12)}
=2(1/2-1/12)=1-1/6=5/6

お礼

回答ありがとうございました。
(2)を休み明けに先生の所に聞きにいこうかと思っていたので、助かりました。　
ありがとうございました。

回答No.2

rtz

＞k＝2,4,・・・
1、3、5…と同じように考えるだけです。

お礼

回答ありがとうございました。
一度にk＝1,2,3,4,・・・としても答えが出せました。

回答No.1

4951snk

(1)log[10]{(k+2)/k}＝log[10](k+2)-log[10]kとすれば、解けます。

Σ｛log[10](k+2)-log[10]k｝
＝(log[10]3-log[10]1)＋(log[10]5-log[10]3)＋(log[10]7-log[10]5)＋……+｛log[10](n-2)-log[10](n-4)｝＋｛log[10](n)-log[10](n-2)｝+｛log[10](n+2)-log[10](n)｝
　これの答えの出し方は、最初の項のlog[10]3を、次の項の-log[10]3で打ち消す事ができます。その要領で消すと、log[10]1＝0なので、答えだけが残ります。
これ以上は、答えになるので申し上げられません。

お礼

回答ありがとうございます。
k＝1,3,5・・・を代入しているように見えるのですが、k＝2,4,・・・
はどうなっているのでしょうか。