数列と関数の性質についての疑問
- 数列bは正の実数であり、数列a1,a2,a3,……,an,……はan+1=(an)^2-2ban(n=1,2,3……）…(1)を満たす。
- a1=0あるいはa1=アb+イのとき、すべてのnについてan+1=anとなる。また0<an<an+1(n=a,2,3,……)が成り立つための必要十分条件は、a1>ウb+エである。
- すべての実数nについてan+2=(an)^4-オb(an)^3+(カb^2-キb)x^2+(4b^2)xが成り立つ。正の数bがb^2+b-1=0を満たす時、方程式x=x^4-4bx^3+(4b^2-2b)x^2+4b^2xの四つの異なる解は,bを用いてx=0,b,2b+1,b-クと表される。
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数列
bは正の実数であり、数列a1,a2,a3,……,an,……はan+1=(an)^2-2ban(n=1,2,3……）…(1)を満たす。 この数列の変化をみるために2つの関数y=x,y=x^2-2bxを考えそれらのグラフをそれぞれ、C1,C2とする。 (1)C1とC2の交点のx座標は0とアb+イである。 したがって、a1=0あるいはa1=アb+イのとき、すべてのnについてan+1=anとなる。 また0<an<an+1(n=a,2,3,……)が成り立つための必要十分条件は、a1>ウb+エである。 (2)等式(1)から、すべての実数nについて an+2=(an)^4-オb(an)^3+(カb^2-キb)x^2+(4b^2)xが成り立つ。 さらに、正の数bがb^2+b-1=0を満たす時、方程式x=x^4-4bx^3+(4b^2-2b)x^2+4b^2xの四つの異なる解は,bを用いて x=0,b,2b+1,b-ク と表される。したがって、初項a1が(√ケ-コ)/2または(√サ-シ)/2であるとき、anはnに応じて二つの値(√ケ-コ)/2と(√サ-シ)/2を交互にとる。 アからキまではわかりましたが続きがわかりません。 あと、ウとエを考える際にグラフで考えるみたいなのですがそれ以外に方法はないのでしょうか？ ないなら、この部分の考え方を教えていただけるとありがたいです。
- zdmireniamon
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4次式はせっかくいくつかの因数を教えてくれてるのだからそれで割ってみたらいいと思います ウとエはy=an+1、x=anとみなせば単純に２次不等式ですので大きくなるところはすぐにわかると思います（グラフを描くのと同じですけど）
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- spring135
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＞x=x^4-4bx^3+(4b^2-2b)x^2+4b^2x x(x-b)(x-(2b+1))(x-(b-1))=0 ク＝1 b^2+b-1=0より b=(-1±√5)/2 予想 ケ＝サ＝5 コ＝シ＝1
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