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微分をわかりやすく説明できる方！
x=y^2をyで微分した答えが、なぜdx/dy=2yとなるのかよく理解できません。 サルにでもわかるように説明できる方、お教えいただけないでしょうか！ 途中式や公式などを交えて教えて下さい。
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- N64
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yとxを入れ換えると、y=x^2 となります。両辺をxで微分すると、dy/dx=2xとなります。そこで、xとyをまた入れ換えて元に戻すと、dx/dy=2yとなります。これなら、サルでも分かるでしょう？
微分というのは導関数を求めることではないですか。 導関数というのは、元の関数において、変数の微小増加量に対して、関数もそれに伴って微小変化するわけだど、その、変数の微小増加量に対する関数の微小増加量の割合を極限的に表したものだと思いますがどうでしょうか。 導関数の定義に従うと、導関数=極限(関数の微小増加量/変数の微小増加量)ですね。 そこで、関数が t^2 …(1) の形であるとき、tよりわずかにd離れたt+dにおいて、関数の値は、 (t+d)^2 …(2) であり、このとき、変数の微小増加量は d に対して、関数の微小増加量は(2)-(1)ですから、 (t+d)^2-t^2=2td+d^2=d(2t+d) となります。そうすると、微小増加量の割合は、関数の微小増加量/変数の微小増加量ですから、 d(2t+d)/d=2t+d …(3) ということになります。さて、dを極限的に見てみましょう。0と言ってもいいほどに小さなdに対しては、(3)は 2t としてもいいのではないですか。以上のことを数学の記号で (t+d)^2-t^2 ｌｉｍ────────── d→0 d = ｌｉｍ(2t+d) = 2t d→0 と表します。または、関数s=t^2の微分という言い方をして、 ds ─ dt と表しますから、 ds/dt=2t とも表されるのです。 関数がy=x^2であれば、 dy/dx=2x であるし、関数がx=y^2であれば、(通常とは逆にxがyの関数になってますが) dx/dy=2y となるのです。
- mmky
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すでに説明は出ていますが、わかりやすく。 微分というのは変化量の比なんですね 例えば、x=y^2 式で右辺yがy からy+0.1に増加 すれば右辺y^2はy^2から(y+0.1)^2= y^2＋2*y*(0.1)+(0.1)^2=y^2+0.2y+0.01 になりますね。左辺xはxからx+Δx(増加分）に増えるわけですね xの増加分Δxはy^2の増加分と等しいですから Δx=y^2-(y+0.1)^2=0.2y+0.01 yの増加分Δyは0.1でしたから xとyの増分比Δx/Δyは、Δx/Δy=2y+0.1 になりますね。 yの増分Δyはいくら小さくしても比だから2yだけは のこりますね。例えば、Δy=0.0000001 とすれば Δx/Δy=2y+0.000001 Δyをものすごく小さくすればΔx/Δy=2y になるんですね。 これをdx/dy =2y と書いているだけですね。それを微分と いうのです。
- cdsdasds
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何がわからないかわからないですが、 yが1の場合と2の場合を考えると、xはそれぞれ1と4になります。 この場合yが1つ増えるとxが3つ増えることになります。これはyの変化に対するxの変化がこの区間ではyの変化1に対してxの変化3であったことを示しています。 yが1.5の場合、xは2.25でyが0.5増えたのに対して1.25増加なのでyの変化に対するxの変化がこの区間ではyの変化1に対してxの変化は+2.5ということになります。同様に、1.1なら1.21でyの変化1に対してxの変化は+2.1になります。yが1.00001ならy1の増加に対してxの増加は2.00001ということになります。 以上の議論をyを1に近づけながら続けると、yが1の極めて近くではyの変化(dy)に対するxの変化(dx)は、yが1つ増えるとxが2増えるような関係であることが予測されます。 つまり、dy:dx=1:2ですから、dx/dy=2 (y=2)となります。 同様にyが2の場合と3、2.5、2.1、2.00001について考えると、yが1つ増えるとxがそれぞれ、5、4.5、4.1、4.00001増えるような関係であることがわかり、yが2の極めて近くではyの変化に対するxの変化は、yが1つ増えるとxが4増えるような関係であることが予測されます。 dy:dx=1:4ですから、dx/dy=4 (y=2)となります。 これを3、4、5の周辺について考えると、それぞれその極めて近くではyの変化に対するxの変化は、yが1つ増えるとxは6、8、10増える関係であることがわかりますので、以上をまとめるとyがaの場合、aの極めて近くではyの変化に対するxの変化は、yが1つ増えるとxは2a増えるとなります。 つまりdy:dx=1:2aですから、dx/dy=2a (y=a)となります。 ここで、y=aですからdx/dy=2yとなるのです。 図形的に考えると、x=y^2の放物線に接する直線の傾きが方物線と直線の接点の傾きということになり、放物線の各点で調べると傾きの変化(dx/dy)がyの値の2倍になるということになります。 この手の話は説明を読んでわからなければ、線を引いて、電卓たたいて表を作って...と作業してご自身で確認してみるとよろしいかと思います。 関数と導関数の関係が理解できれば、一般にx=y^αの場合 dx/dy=αy^(α-1) という公式があるので、この場合α-2として dx/dy=2y^(2-1)=2y^1=2y となることがわかると思います。
ｙで微分するということは、両辺に d/dyをかけることと同じ。 よって、 x=y^2 d/dy・x=d/dy・y^2 d/dy・x=2y ここで左辺に１（dx/dx）をかけます。 d/dy・dx/dx・x=2y・1 ここで、d/dy・dx/dx＝d/dx・dx/dyなので d/dx・dx/dy・x=2y・1 d/dx・x＝1だから 1・dx/dy=2y・1 dx/dy=2y
