方程式の解き方を教えて下さい

質問

はじめまして。　m(__)m

２次方程式の解き方を教えて下さい。

ｘの２乗　＋　２ｍｘ　－　ｍの２乗　－　４ｍ　＋　６＝０の時

上記で、１つの解が、２＜ｘ＜３の範囲にあり、

他の解がｘ＜２　の範囲にあるような「ｍ」の値を求める

場合の解き方を解説していただけないでしょうか。

よろしくお願い致します。　m(__)m

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

#3に対する補足

>> f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10
>> f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0より-3<m<5
>
>良ければここの意味を、もう少しわかりやすく
>解説していただけないでしょうか。

についてですが、
(1) f(2)やf(3)の意味が分からないのでしょうか。
(2) 2次不等式の解き方が分からないのでしょうか。
どちらでもない場合は、補足ください。

・(1)の場合

f(a)というのは、f(x)という式の変数xに、定数aを代入することです。
f(x)=x^2+2mx-m^2-4m+6　と置いたのですから、

f(2)=2^2+2m*2-m^2-4m+6 = 4+4m-m^2-4m+6 = -m^2+10 となります。
同様に
f(3)=3^2+2m*3-m^2-4m+6 = 9+6m-m^2-4m+6 = -m^2+2m+15 です。

>f(2)<0,f(3)>0であることが必要十分です。
ということなので、
f(2)=-m^2+10<0 と f(3)=-m^2+2m+15>0
の２つの不等式が得られます。

・(2)の場合
f(x) = n(x-a)(x-b) とできたとします。ここで、仮にn>0,a＞bと大小関係を置いておきます。（このように置いても一般性は失われません。）

i)f(x) > 0 という不等式の場合（等号があっても同じ考え方です。）
　n(x-a)(x-b)>0 ですから、x-a,x-bが共に正か、共に負のどちらかとなります。
　よって、共に正の場合はx>a,x>b で、仮定から　x>a(>b) となります。
共に負の場合は　x<a,x<bで、仮定から　x<b(<a)となります。
　合わせて、 x<b または　x>a が答えとなります。

ii)f(x) < 0 という不等式の場合（やはり、等号があっても同じ考え方です。）
　n(x-a)(x-b)<0 ですから　x-a,x-bのどちらかが正でどちらかが負となります。
　仮定から、x-a ＜ x-b (*)　ですので　x-b が正、x-aが負になります。
　よって x>a　かつ　x<b すなわち、a<x<b が答えになります。

　(*)の説明（念の為しておきます）
　　仮定は　a＞b でした。両辺に－１を掛けると
　　-a＜-b　（負の数を掛けるので不等号が逆向きになります。）
　　両辺にxを足すと -a+x＜-b+x （同じ数xを足しても不等号の向きは同じ）
　　よって x-a＜x-b となります。

iii) 最後に　a=b 、つまりf(x)= n(x-a)^2の形の場合
　f(x)>0 すなわち n(x-a)^2>0 はx=aを除く全ての実数について常に成り立ちます。
　f(x)<0 すなわち n(x-a)^2<0 を満たす実数xは存在しません。
　なぜなら、仮定で n>0としており、(x-a)^2 は2乗ですから、x=aを除く全ての実数について
　(x-a)^2>0だからです。
　x=a のときは、f(x)=0 になりますね。

※さて、本題の場合
　f(2)=-m^2+10 = -(m^2-10) =-(m-√10)(m+√10)<0 ですね。
　両辺に－1を掛けて（不等号の向きが変わります）(m-√10)(m+√10)>0 です。
　これは上記 i)の形ですから　　m<-√10またはm>√10　となります。

　f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0 （因数分解は大丈夫ですよね。）
　やはり両辺に－1を掛けて　(m-5)(m+3)<0
　上記ii)の形ですから、-3<m<5 となります。

不等式の一番のポイントは、負の数を掛けると不等号が逆向きになることです。

長くなりまりたが、これで理解いただけましたか。

お礼

hinebotさま、とてもわかりやすい解説をしていただきまして
本当にありがとうございました。
やっと理解することが出来ました。(汗)
これからもご教示のほど、よろしくお願い致します。

回答No.3

HitomiKurose

f(x)=x^2+2mx-m^2-4m+6と置きます。
y=f(x)のグラフ（下に凸ですね）の大雑把な図を描いてみましょう。
f(x)=0の解はこのグラフのx軸との交点なので、解が条件を満たすのは
f(2)<0,f(3)>0であることが必要十分です。
f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10
f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0より-3<m<5
よって√10<m<5（整数条件でもあればm=4ですね）

補足

お忙しいところ、回答ありがとうございました。

> f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10
> f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0より-3<m<5

良ければここの意味を、もう少しわかりやすく
解説していただけないでしょうか。
いまひとつ理解できないもので・・・
よろしくお願い致します。　m(__)m

回答No.2

finalanswer

xのn乗は x^n と表記して構いません。

f(x)=x^2-2mx-m^2-4m+6 とおくと、xの方程式 f(x)=0 は、2と3の間に解が1個だけあるので
f(2)<0, f(3)>0 または f(2)>0, f(3)<0 となります。
また、xy平面上のグラフ y=f(x) は、下に凸の放物線で、f(x)=0 のもう1つの解が x<2 の範囲にあるため、f(2)<0 となります。
※グラフを描いてみると、わかると思います。
よって、f(2)<0, f(3)>0 を満たすmの不等式になります。
あとは、mの2次不等式を解くだけです。

お礼

お忙しいところ、回答をくださりありがとうございます。

これからもアドバイスをお願い致します。　m(__)m

回答No.1

a-kuma

二次方程式の解の公式を使って、ｘの解を出します。これは、ｍの一次式か二次式に
なっているはずですね。

で、二つの解のうち、大きい方（±√の＋の方）が２＜ｘ＜３にあるのですから、
そのｘに、さっきのｍで表された解を代入して、不等式が二つ。

小さい方が、ｘ＜２ですから、同様にｍで表されたｘを代入して不等式がひとつ。

もしかすると、有理解を持つという条件で解の公式のルートの中身が正である、
という条件で不等式をひとつ、考え合わせる必要があるかも。

というわけで、ｍについての不等式が３～４でてきて、この連立不等式を解くだけです。

お礼

お忙しいところ、回答をくださりありがとうございます。

これからもアドバイスをお願い致します。　m(__)m