数学の２次方程式について教えて下さい。

質問

〔１〕　ｘの２次方程式　ｘ＾－ｍｘ－２ｍ＾＝0　　　(イ)が　ｘ＝－１を解に持つとき　　※＾２譲という意味です。

　(1)　定数ｍの値を求めなさい。

　(２)　２次方程式　(イ)　の他の解を求めなさい。

　詳細な解説をお手数ですが、よろしくお願い致します。

　※たすきがけの簡単な方法を教えて下さい。お手数ですが、よろしくお願い致します。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

与えられた方程式
x^2-mx-2m^2=0
は
(x-2m)(x+m)=0
と因数分解できる。これからこの方程式の解はx=2mとx=-mであることがわかる。
(1)
x=-1が解であるとすれば，それは2mであるか-mであるかのどちらかである。
2ｍ=-1からm=-1/2
-ｍ=-1からm=1
(2)
2ｍ=-1のときはm=-1/2で他の解は-mだから-m=1/2
-ｍ=-1のときはm=1で他の解は2mだから2m=2

たすきがけを
x^2-mx-2m^2=0
で考える。まずx^2の係数は1だから当然に
(x+...)(x+...)=0
のように因数分解できると考える。次に定数項-2m^2を見て
(x+2m)(x-ｍ)=0
(x+m)(x-2ｍ)=0
(x+2m^2)(x-1)=0
(x+1)(x-2ｍ^2)=0
(x+m^2)(x-2)=0
(x+2)(x-ｍ^2)=0
を因数分解された式の候補として考える。ここで上の6つの式のxの係数が与えられた式のxの係数-mになるものを求めると
(x+2m)(x-ｍ)=0のxの係数はm
(x+m)(x-2ｍ)=0のxの係数は-m
(x+2m^2)(x-1)=0のxの係数は2m^2-1
(x+1)(x-2ｍ^2)=0のxの係数は1-2m^2
(x+m^2)(x-2)=0のxの係数はm^2-2
(x+2)(x-ｍ^2)=0のxの係数は2-m^2
だから
(x+m)(x-2ｍ)=0
が正解だとわかる。
たすきがけの簡単な方法などはありません。試行錯誤です。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

補足

親切丁寧な回答解説ありがとうございます。
申し訳ございません↓の説明が理解出来ませんでした。なぜ、(X-2m)(x+m)＝0と因数分解できるのですか？お手数ですが、詳細な解説を教えて下さい！お手数ですが、よろしくお願い致します！

与えられた方程式
x^2-mx-2m^2=0
は
(x-2m)(x+m)=0
と因数分解できる。これからこの方程式の解はx=2mとx=-mであることがわかる。

回答No.4

f272

#3です。

> なぜ、(X-2m)(x+m)＝0と因数分解できるのですか？

それがわからないのかもしれないと思って#3では「たすきがけをx^2-mx-2m^2=0で考える。」と書いたのだが...それ以降に書いてあることを読んでください。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.2

chie65535

＞(1)　定数ｍの値を求めなさい。

ｍ＝１

＞(２)　２次方程式　(イ)　の他の解を求めなさい。

ｘ＝２

＞詳細な解説を

(1)定数ｍの値

「ｘ＝－１を解に持つとき」なら

ｘ^2－ｍｘ－２ｍ^2＝0

は

1＋ｍ－2ｍ^2＝0

になります。つまり

－2ｍ^2＋ｍ＋１＝0

の２次方程式の解を求めるのと同じです。

この解は「ｍ＝１」と「ｍ＝－０．５」ですが、－０．５は問題文の趣旨に合わないので除外し「定数ｍの値は１」が答えになります。

（２）もう１つの解

「ｍ＝１」ならば、素直に

ｘ^2－ｘ－２＝0

を解くだけです。

解は「ｘ＝－１」と「ｘ＝２」ですから、もう一つの解は「ｘ＝２」です。

＞※たすきがけの簡単な方法を教えて下さい。

ｘ^2－ｘ－２＝０

を例に取ります。

ｘ^2－ｘ－２＝（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＝０

の時、ａとｃを掛け算すると「１」です。２次の係数は「１」ですから。

すると「ａ＝１」「ｃ＝１」しかありません。

同様に、ｂとｄを掛け算すると「－２」です。定数項は「－２」ですから。

こちらは「-2と1」「-1と2」があります。

次に「ａｄ＋ｂｃが－１」になる物を考えます。

「ａとｃは１」なのですから単純に「ｄ＋ｂが－１」になる物を探せばよいだけです。

「-2と1」「-1と2」のうち「ｄ＋ｂが－１」になるのは「-2と1」ですから「ｂ＝１、ｄ＝－２」です。

なので「ａ＝１、ｂ＝１、ｃ＝１、ｄ＝－２」を

ｘ^2－ｘ－２＝（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＝０

に代入して

ｘ^2－ｘ－２＝（ｘ＋１）（ｘ－２）＝０

になります。この時、方程式の値が０になるのは「ｘ＋１＝０」と「ｘ－２＝０」の時ですから「ｘ＝－１」と「ｘ＝２」の時に、方程式の値が０になります。

つまり「ｘ＝－１」と「ｘ＝２」が「方程式の解」になります。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！

回答No.1

ignis2523

たすき掛けという言葉を知っている以上、習ったことがあると思います。
やり方は授業で習った通りですので、深く説明しません。

解法の解説ですが、手順だけ書きます。
あなたのためにならないので、解答は書きません。

はじめにx=-1を代入しましょう。
mについての２次式になります。
たすき掛けですが、
ax^2+bx+c=0　の、aとcはかけて与えられる数、bは斜めにかけた数を足した数になります。
今回の場合は、
a=2、b=-1、c=-1ですね。
なので、aは1と2に分解でき、cは1と-1に分解されます。
　　a c
2 1
1 -1
と書きます。斜めにかけた数は、1と-2ですので、足すと-1(=b)になります。
そのため、(2m+1)(m-1)=0となり、(1)は解けますね。

次に、(1)で求めたmを代入し、場合分けすれば、あとは上記の方法で解けます。

お礼

親切丁寧な回答解説ありがとうございました！