2次方程式について

質問

2次方程式x^2+mx+n=0がx=-2+iを一つの解にもつようにm,nの値を求めてください。

2次方程式にxの値を代入したのですが分かりませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

この問題が解けるためにはm,nは実数であることが必要です。確認してください。

解と係数の関係を使います。

２次方程式

x^2+mx+n=0

の解をα、βとすると解と係数の関係

α+β=-m, αβ=n (1)

が成り立つ。

m,nが実数のとき

x=-2+iが解ならばX=-2-iも解になります。

従ってα＝-2+i, β=-2-iと置くことができて

α+β=-4, αβ=(-2+i)(-2-i)=(2-i)(2+i)=2^2-i^2=5 (2)

(1)と比較して

m=4, n=5

お礼

回答ありがとうございました。

お手数ですが補足の方もお願いします。

補足

問題にはm,nは実数とは書かれていませんでしたが、おそらく実数で大丈夫だと思います。

解と係数の関係

α+β=-m, αβ=n (1)

これは決まっている物なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.4

bran111

＞補足コメント

komatuseiya

問題にはm,nは実数とは書かれていませんでしたが、おそらく実数で大丈夫だと思います。

解と係数の関係

α+β=-m, αβ=n (1)

これは決まっている物なのでしょうか？

よろしくお願いします。

⇒(1)は必ず教科書に書いてあります。

２次方程式ax^2+ｂｘ+ｃ＝0の解をα,βとすると

α+β=-b/a, αβ=c/a

証明

ax^2+ｂｘ+ｃ=a(x-α)(x-β)

の右辺を展開して係数を比較すればよい。

a=1,b=m,c=nが本質問の場合である。

回答No.2

gohtraw

ｍとｎは実数ですよね？
x=-2+i が解であるならば、x=-2-i　も解です。共役複素数だっけ。
なぜそうなるかというと、ｘの係数ｍは-(α＋β）で、ｍが実数であり、かつ
定数項ｎはαβでこれも実数だから。
αとβはこの二次方程式の解ね。

もう一つの解をｐ＋ｑｉとして、
（ｘ－（-2+i))（ｘ－（p+qi))＝ｘ＾２＋ｍｘ＋ｎ
左辺を展開して、その虚部がゼロになるとすれば解けるはずだよ。

お礼

ありがとうございました。これからもよろしくお願いします。

補足

ありがとうございます。
問題にはm,nは実数とは書かれていませんでしたが、おそらく実数で大丈夫だと思います。

回答No.1

f272

x=-2+iを一つの解にもつのならx=-2-iも解になります。
したがって
m=-((-2+i)+(-2-i))=4
n=(-2+i)*(-2-i)=5

お礼

回答ありがとうございました。

お手数ですが補足の方もお願いします。

補足

共役複素数ということでしょうか？

そこからどうすれば
m=-((-2+i)+(-2-i))=4
n=(-2+i)*(-2-i)=5
となるのでしょうか？
よろしくお願いします。