１１月の進研模試のトライ問題なんですが・・・

質問

高校二年生の進研模試の復習プリントのトライ問題なんですがいくら考えても分らないので教えて下さい。お願いします。

３次方程式x3+mx2+3nx+m+n-1=0(m,nは実数の定数)…(1)は
x=1を解にもつ。

(1) mをnを用いて表せ。
(2) ３次方程式(1)の解がすべて実数であるとき,nの値の範囲を求めよ。
(3) (2)のとき,３次方程式(1)の解を-1,α,βとする。α,βが
　　α3+β3=32を満たすとき,nの値を求めよ。

(xとαとβの後ろの数字は何乗の意味です。)

(1)はm=n+1だとわかったんですが、(2)(3)がどうしても分らないんで
教えて下さい。あと答えだけじゃなく解き方も教えていただけたらうれしいです。よろしくお願いします！

回答No.2

Okayan_T · ベストアンサー

なるほど。ちなみに、問題文の「解に持つ」のはx=-1ですよね。（じゃないと(1)でm=n+1にならないですもんね）
(2)、３つの解のうち、一つは-1だから実数ですよね。だから、あと２つが実数解であればいいわけですよね。解が実数解になるように・・・というと、判別式ですよね。
m=n+1を使って文字を減らして、
x3+(n+1)x2+3nx+2n=0、x=-1を解に持つので、(x+1)で因数分解できるはずです。やってみると・・・
(x+1)(x2+nx+2n)=0になります。この後ろの式で、判別式を使えばなんとかなりますよ。
D=n2-4*1*2n=n2-8n　これが正の数であればいいので、
n2-8n>0　n(n-8)>0 だから n<0、n>8ですね。（二次不等式を復習して下さい）
(3)普通に根性で解を出しても解けるかも知れませんが、解と係数の関係を考えると、α、βはx2+nx+2n=0の２つの解のことですから、
α＋β＝-n、αβ＝2n　ですよね。
α3＋β3＝(α＋β)3-3αβ(α＋β)＝(-n)3-3*2n*(-n)＝-n3+6n2
-n3+6n2-32=0を解けばいいわけですね。
これはプラスマイナスひっくり返して、n3-6n2+32=0、因数を探すのが大変ですが、
(n+2)(n-4)2=0。n=-2,4ですが、範囲としてn=4はおかしいので、
n=-2が解答になります。

お礼

すいません、X=-1ですよね。書き間違えました。
答えていただきありがとうございます。
ちゃんと二次不等式も復習しますね。

回答No.3

kumipapa

察するに
＞　３次方程式x3+mx2+3nx+m+n-1=0(m,nは実数の定数)…(1)は
＞　x=1を解にもつ。
は x= -1 を解にもつ、ですね。そうしないと(1)が m=n+1 になりませんので。

（２）
m = n+1 を元の３次方程式に代入すると
x^3 + (n+1)x^2 + 3nx + 2n = 0
(x + 1)(x^2 + nx + 2n) = 0
この解が全て実数である条件は
D = n^2 -8n ≧ 0
n(n-8) ≧ 0
n≦0, n≧8

（３）
解と係数の関係から、
α+β = -n
αβ = 2n
である。
α^3 + β^3 = (α + β)(α^2 - αβ + β^2)
　　　　　= (α + β){(α + β)^2 - 3αβ}
　　　　　= (α + β)^3 -3αβ(α + β)
　　　　　= -n^3 + 6n^2
-n^3 + 6n^2 = 32
n^3 - 6n^2 + 32 = 0
(n + 2)(n - 4)^2 = 0
(2)の条件より n = -2

ですか。

お礼

すいません。x=-1ですよね、書き間違えました。
でも答えていただき本当にありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

(2) については, もとの式の左辺を因数分解し, 出てくる 2次式の判別式を考えれば OK.
(3) は... 「解が -1, α, β」ってあるけど「1, α, β」かな? これは α^3+β^3 を α と β の基本対称式で書いて n に関する方程式にするのかな.