漸化式

質問

a1=1、a2=3、a(n+2)-3(an+1)+2an=0の定められる数列{an}の一般項の求め方を教えてください。

回答No.3

f272

a[n+2]-3a[n+1]+2a[n]=0 ...(A)
(A)から
a[n+2]-a[n+1]=2*(a[n+1]-a[n])
a[n+2]-a[n+1]=2^n*(a[2]-a[1])
a[n+2]-a[n+1]=2^(n+1) ...(B)
また(A)から
a[n+2]-2a[n+1]=a[n+1]-2a[n]
a[n+2]-2a[n+1]=a[2]-2a[1]
a[n+2]-2a[n+1]=1...(C)
(B)から(C)を引いて
a[n+1]=2^(n+1)-1
したがって
a[n]=2^n-1
となり，これはn=1のときも成り立つ。

回答No.2

kiha181-tubasa

添え字を< >を使って書き表すことにします。

この問題はハウツーの公式のようなものは期待せずに，泥臭く地道に基本に従って解くと，自分でもなるほどと納得できると思います。
a<1>,a<2>,a<3>,……と調べると，a<n>が推定できます。
次にその推定が正しいことを数学的帰納法で証明すればよいのです。これが基本です。

漸化式より
a<n+2>=3a<n+1>-2a<n>
ですから
a<1>=1,a<2>=3
a<3>=3a<2>-2a<1>=3*3-2*1=7
a<4>=3a<3>-2a<2>=3*7-2*3=15
a<5>=3a<4>-2a<3>=3*15-2*7=31
…………
このことから以下のように推定される。
a<n> : 1, 3, 7, 15, 31, ……
この階差数列をb<n>とすると
b<n>: 2, 4, 8, 16, ……
となり， 階差数列をb<n>は初項が2で公比が2の等比数列となる。
公式a<n>=a<1>+Σ(k=1→n-1)b<n>　を知っていますね。これを使いますと
a<n>=1+(2+2^2+2^3+……+2^<n-1>)
=1+2*(2^(n-1))/(2-1)
=1+2*2^(n-1)
=1+2^n-2
=2^n-1
ゆえにa<n>=2^n-1 であると推定されます。
（推定なので証明が必要）
次にこの推定が正しいことを数学的帰納法で証明します。
（Ⅰ）n=1のときは明らかに成り立ちます。
（Ⅱ）n≦k (k≧2)のとき成り立つと仮定すると
a<k>=2^k-1, a<k-1>=2^(k-1)-1
漸化式より
a<k+1>=3a<k>-2a<k-1>
=3*(2^k-1)-2{2^(k-1)-1}
=3*2^k-3-2*2^(k-1)+2
=3*2^k-3-2^k+2
=2*2^k-1
=2^(k+1)-1
これはn=k+1の時にも成り立つことを示しています。
（Ⅰ）（Ⅱ）よりすべての自然数について
a<n>=2^n-1
が成り立つことが証明されました。
以上です。

回答No.1

maskoto

a(n+2)-3(an+1)+2an=0
↔a(n+2)-(an+1)＝2{a(n+1)-an}
a(n+1)-an＝bnとおくと
b(n+1)＝2bn
b(1)＝a(2)-a(1)＝2
なので、数列bnは初項2、公比2の等比数列
→bn＝2ⁿ
→a(n+1)＝an+2ⁿ
このことから、n≧2とすると
an＝a(n-1)+2ⁿ⁻¹
＝{a(n-2)+2ⁿ⁻²}+2ⁿ⁻¹
＝…
＝a(1)+2¹+2²+…+2ⁿ⁻²+2ⁿ⁻¹
＝1+等比数列の和
＝1+(2ⁿ-2)
＝2ⁿ-1
これはn＝1のときも成り立つ
このようにできそうです