導関数の不等式

質問

導関数の増減がわからないので質問します。
f'(x)={(√3*x+b)(√3*x-b)}/{√(x^2+b^2)*(2x+√(x^2+b^2))}の増減を考えるとき、
0≦x≦a・・・(1) でa≦b/√3のとき、0≦x≦a≦b/√3より(1)の範囲で、√3*x-b<0となり、f(x)は単調減少になり、x=aで最小となっているのですが、
x=b/√3のとき√3*x-b=0なので、√3*x-b≦0で単調減少とはいえないと思いました。どなたか√3*x-b<0となる理由を教えてください。お願いします。

回答No.5

gamma1854

一部ミスをし大変失礼しました。次のとおり訂正します。
b>0 とし、 0≦x で考えます。
x≠b/√3 のとき、f'(x)={2x - √(x^2+b^2)}/√(x^2+b^2).
f'(b/√3) = 0.

回答No.4

gamma1854

(2x - √(x^2+b^2)) を分母・子にかけて、(3x^2 - b^2) を約してください。
基本的なことですので、経過は記述しません。納得するまで時間をかけてください。

お礼

計算をがんばりたいとおもいます。お返事ありがとうございます。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

補足質問への解答です。

> 0 ≦ x < aかつ0<b のとき、「a = b/√3 かつ x = a」で、
(√3*x+b)>0,√(x^2+b^2)*(2x+√(x^2+b^2))>0,(√3*x-b)<0より、f’(x) <0 が正しいとおもうのですが

一番目、二番目の式の値は正ですが、
√3 * x - b = √3 * a - b = √3 * (b/√3) - b = 0
となり、全体として f’(x) + 0 となります。

お礼

補足に対しての回答ありがとうございます。

回答No.2

gamma1854

この場合は、
f'(x)={2x - √(x^2+b^2)}/√(x^2+b^2), (x≠±b/√3, b>0)
と同値です。分母(第二因数)を有理化し、整理してください。
これより、
x<b/√3 のとき、f'(x)<0,
b/√3<x のとき、f'(x)>0.
となります。
-------------
※ f(x)=2√(x^2+b^2) - x +C. (x≠±b/√3).

お礼

わかりやすい計算にしてくださり、ありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。
(2x-√(x^2+b^2))を分母と分子にかけても、回答にあるようなf'(x)のなりませんでした。Maximaという計算ソフトを使ってもできませんでした。よろしければ計算手順を詳しく教えてください、お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

> 0≦x≦a・・・(1) でa≦b/√3のとき、0≦x≦a≦b/√3より

この条件下であれば、x = b/√3 となるのは
「a = b/√3 かつ x = a」
すなわちxが定義域の「右端」にくるときです。具体的には
0 ≦ x < a のとき f’(x) > 0
x = a のとき f’(x) = 0
となります。この場合も単調減少といえます。
（たとえば y = x^2 ( x ≧0 ) のグラフを考えてみてください。 x = 0 のとき y’ = 0 となっていますが、全体として単調増加といえます）

お礼

「y'=2x (x≧0) は単調増加か」　とインターネットで調べたところ、
ｆ’（ｘ）＝０　であってもｘ≠ｙであれば
ｆ（ｘ）≠ｆ（ｙ）ということが　根拠に示されていました。　具体例を教えてくださり、ありがとうございます。

補足

よろしければ、お返事ください。
0 ≦ x < aかつ0<b のとき、「a = b/√3 かつ x = a」で、
(√3*x+b)>0,√(x^2+b^2)*(2x+√(x^2+b^2))>0,(√3*x-b)<0より、f’(x) <0 が正しいとおもうのですが、situmonn9876が間違っていたら、訂正お願いします。