単調増加関数とは何か？

質問

よく問題をやっているときに「単調増加関数」とか、「増加関数」なるものが出てきて、それが問題の解法に重要に絡んでいる事があるのですが、一体「単調増加関数」とか、「増加関数」や「減少関数」というのは、どういう意味なのでしょうか？

予想では、関数f(x)の微分値f'(x)が０より大きければ増加関数なのだと思いますが、自信もないしそれだけでは単調増加関数の説明ができません。

回答No.4

Ryou29 · ベストアンサー

実数上で定義された関数f(x)が単調増加

　　＜＝＝＞　任意の実数x,y, x<y に対して f(x)<
f(y) が成り立つ。

　これが定義のはずです。微分可能性はもちろん、連続性も仮定しません。もし微分可能なら f'(x)>0, xは任意の実数、となります。
　実数を開区間で置き換えてもいいです。

頑張ってください。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

matsu_jun

任意のx1、x2に対して
x1 < x2 のとき f(x1) < f(x2) が成立する時、「単調増加関数」
x1 <= x2 のとき f(x1) <= f(x2) が成立する時、「増加関数」
x1 <= x2 のとき f(x1) >= f(x2) が成立する時、「現象関数」

ですね。これなら言葉の説明が付きますでしょ。で、結論として単調増加関数を微分した場合
( f(x2)-f(x1) ) / ( x2 - x1 )
が、いくらx2-x1が限りなく0に近づいても、x1<x2を満たす全ての場合について正の値を取るのは上の定義から明らかですよね。

お礼

よくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

Quattro99

単調増加と増加は同じ意味（単に単調を略しているだけ）のようです。

参考URL：

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Function/BasicTermsOnFunction.htm

お礼

そうなんですか。
参考になりました。

回答No.1

ringohatimitu

知りうる限りの定義を書くと

実関数ｆ(x)が単調増加-----f(x)≦f(y) if x≦y
実関数ｆ(x)が狭義単調増加-----f(x)＜f(y) if x＜y

です。多分これが標準的な定義だと思います。ちなみに普通は微分可能性（連続性ですら）は定義に含めません。