関数の増加・減少の問題

質問

次の関数の増減表を完成し、増減をいえ。という問題で途中までといてみたのですが、答えがよくわかりません。
※(2)は二乗の意味です。

f(x)＝－x(2)＋４x＋２

(i)微分して接線の傾きを導く式
f'(x)＝－２x＋４

(ii)f'(x)＝０を解いて、傾きが０となるxの値をもとめる
　－２x＋４＝０
２(－x＋２)＝０
　　－x＋２＝０
　　　　　x＝２

この式で↑と↓どちらがあっているのでしょうか？

　－２x＋４＝０
－２(x－２)＝０
　　　x－２＝０
　　　　　x＝２
また、なぜ－２x＋４の式にまとめて(カッコ)をつけて、そのカッコがなぜ消えるのでしょうか？

もし、↑ので当っているとしたら、
関数f(x)＝－x(2)＋４x＋２は、x<２で増加，x>２で減少になりますか？

回答No.3

daikaisan · ベストアンサー

(ii)f'(x)＝０を解いて、傾きが０となるxの値をもとめる
　－２x＋４＝０
２(－x＋２)＝０
　　|
　　| 両辺を２で割ると、(－x＋２)=0
　　|　　....0をどんな実数でわっても、０ですから
　　|
　　－x＋２＝０
　　　　　x＝２

　－２x＋４＝０
　　|　この式の両辺をいきなり２で割っても同じ
　　－x＋２＝０

このテクニックは、方程式の係数が大きい、小数、分数の場合に時折使うよ。
２０００x ＋ ４００００＝０
　　　x ＋ ２０＝０　とか

０．１x ＋２０＝０　両辺を１０倍
　　　x ＋ ２００＝０　とかね。
>カッコなんて使う人はいませんよ。とどなたかがかかれてますが、
こういう場合は、中学の解説にはあります。

例えば、２Ｘ＾2＋４Ｘ＋２＝０
　なれてる人は、さっと両辺を2で割りますが、
解説などには、２(Ｘ＾2＋２Ｘ＋１)＝０　として、
　　　Ｘ＾2＋２Ｘ＋１＝０
などという流れになっていたりします。

お礼

丁寧に解説・回答してくださり、ありがとうございました。
おかげで、とてもよくわかりました。

回答No.4

0lmn0lmn0

f(x)=-(x^2)+4x+2
f'(x)=-2x+4
　　　=-2(x-2)=0
　と書いた方が良いです。

　その内に、
f'(x)=2(x^2)-6x+4
　　　=2{(x^2)-3x+2}
　　　=2(x-1)(x-2)=0
　という形が出てきます。
　このままで、x=1,2　とわかり、
ｘが　　-----１--------２-----
f'(x)は　正、０、負、０、正
f(x)も　／　　　　＼　　　／　
　と増減表を書かなくてもグラフの概形が、
　分かる様になります。

＞＞この式で↑と↓どちらがあっているのでしょうか。
　共にｘ＝２　と算出されていて、
　途中経過も正しいので、
　どちらでもＯＫです。
　　－２x＋４＝０　を見ただけで、ｘ＝２
　　と判断できるのがＢＥＳＴです。

＞＞カッコがなぜ消えるのでしょうか。
　　－２(x－２)＝０
　　(x－２)＝０　　　（１）
　　　x－２＝０　　　（２）
　　（１）（２）は同じ意味です。
　　同じ意味ならば、カッコがない方が自然です。

されど、
f'(x)=-2x+4
　　　=-2(x-2)=0　と係数もカッコも残し置く方が、

ｘ　---------２-----
f'(x)　正、０、負
f(x)　／　　　　＼　
と分かり易く、お馴染みの上に凸の放物線となります。

＞＞もし、↑ので当っているとしたら。　
↑も↓も正しいのだから、
増減も同じです。

お礼

丁寧に解説・回答、書き方まで教えてくださりありがとうございました。とてもよくわかりました。

回答No.2

Peace2007

失礼かと思いますが一応聞いておきます。
本気で言ってるんですか？

増減表を使ってるってことは最低でも中学卒業してますよね？
こんなの小学生でもわかることじゃないですか。

結論から言うと上と下どっちでもOKです。
そもそも－2x＋4＝0の方程式を解けといわれて
カッコなんて使う人はいませんよ。普通は

－2x＋4＝0
2x＝4
x＝2

こうやって解きます。

＞－２x＋４の式にまとめて(カッコ)をつけて、
＞そのカッコがなぜ消えるのでしょうか？
これはそういうものだからとしか答えられません。
単にどちらも2の倍数なので2で括っただけです。マイナスはオマケです。

最後のは実際に増減表を書いてみるとわかります。まぁ、そんなこと
しなくてもf(x)に直接代入していけばすぐにわかるんですけど。
x＝2のとき傾きがゼロになるわけでとりあえず2の前後1と3を代入。
f(1)´＝－2＋4＝2＞0
f(3)´＝－6＋4＝－2＜0　　よって
xが2より大きいとき傾きは負、つまりf(x)が減少します。
xが2より小さいとき傾きは正、つまりf(x)が増加します。

というかf(x)を平方完成すれば一発じゃないですか。
f(x)＝－x^2＋4x＋2
　　＝－(x－2)^2＋6

この時点でグラフを描けばどんな式なのかすぐわかりますよ。

お礼

本気で言っています。
丁寧に回答してくださり、ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>この式で↑と↓どちらがあっているのでしょうか？
どちらもあってる。

>また、なぜ－２x＋４の式にまとめて(カッコ)をつけて、
>そのカッコがなぜ消えるのでしょうか？
両辺を -2 で割っているから。たいした意味はない。

>もし、↑ので当っているとしたら、
ちゃんと f(x) の導関数の正負を検証すれば何でも OK

お礼

回答ありがとうございました。