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導関数の求め方

導関数の求め方については、高校で教えてもらい、その意義としては、ある点の接線の傾きだとういうことですよね。 でも、それはf(x)の場合ですよね。 もし、xではなくて、x^2になったとしたら、単純に2xが掛け算された導関数ということになるという理解でいいのでしょうか。 例えば、f(x)/g(x)の導関数は、微分の商の定理から、f'g-fg'/g^2になりますよね、ということは、f(x^2)/g(x^2)の導関数は、-2x(f'g-fg')/g(x^2)^2になるのではないかと思っています。 教えてください。よろしくお願いします。

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  • 回答No.1
noname#53348

質問者さんがどのように導かれたかは分かりませんが、結果はそのようになります。 合成関数の微分、というやつですね。 教科書が残っていらっしゃるようなら、この項を読まれるといいと思います。 参考URLに解説されているサイトを載せておきますね。 適当に見つけてきたものですが。

参考URL:
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_comp_func.html

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質問者からのお礼

早速サイトを確認しました。合成関数だとは気がつかなかったです。回答ありがとうございます。

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此の表記に慣れていないので、 x^2=t とします。 【f(t)/g(t)】' =【2x*f'(t)g(t)-f(t)g'(t)*2x】/g(t)^2 =2x【f'(t)g(t)-f(t)g'(t)】/g(t)^2 =2x(f'g-fg')/g^2 と貴殿の言う通りになりました。 (誤植のようで、ー が付いています。)

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質問者からのお礼

計算過程まで記入していただいてありがとうございます。とても分かりやすくてありがとうございました。

  • 回答No.3

これ正しいですか? なぜ負号が出てくるのか、分かりません。 どのようにして計算されたのでしょうか?

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質問者からの補足

計算は、具体的な有理関数を例にして確かめてみました。もう一度計算しなおしてみたら、-2xではなく2xでした。

  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

f(x)=なんちゃら と g(x)=x^2 との合成関数になります。 http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node39.html

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質問者からのお礼

合成関数だったのですね。それが分かると、ぐっと元の式が見やすくなりました。ありがとうございます。

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