次の不等式がわかりません。

質問

a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凸な関数で、かつf(0)=0とします。
このとき、f(a)+f(b)≦f(a+b)となる。

この不等式がどうして成り立つのか、わかりません…
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.6

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。

＞a, b が正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は単調増加連続で凹な関数で、
かつf(0)=0とします。このとき、f(a)+f(b)≧f(a+b) となる。

開区間 (0,a+b) を A とする。
任意の a∈A について、あるb∈A が定まる。

あるs, t (0＜s＜1 かつ 0＜t＜1) に対して、
s：(1-s)＝a：b かつ t：(1-t)＝b：a とおけて、
s+t＝a/(a+b) + b/(a+b)＝(a+b)/(a+b)＝1　 ・・・[1]　となる。

s(a+b)+(1-s)×0＝s(a+b)＝a/(a+b) × (a+b)＝a
t(a+b)+(1-t)×0＝t(a+b)＝b/(a+b) × (a+b)＝b
となる。・・・[2]

f は凹な関数であるから、区間 A において、
f(s(a+b)+(1-s)×0)≧sf(a+b)+(1-s)f(0)
∴[2] と f(0)=0 を用いて、
f(a)≧sf(a+b)・・・[3]

同様に、
f(t(a+b)+(1-t)×0)≧tf(a+b)+(1-t)f(0) より、
f(b)≧tf(a+b)・・・[4]

[3][4] を辺々加えて、
f(a)+f(b)≧sf(a+b)+tf(a+b)＝(s+t)f(a+b)＝f(a+b) ([1]より)

よって、f(a)+f(b)≧f(a+b) が成り立つ。（証明終わり）

お礼

お礼が遅くなり、申し訳ありません。
無事に解決いたしました。ありがとうございました。

回答No.7

info22

#1,#2,#4,#5です。
訂正です。
質問者さんの質問で意味する「凸な関数」は「凸関数」つまり
区間[0,∞)で下に凸の形状関数の意味（下に凹んだ形状の関数）の意味のようです。
そうであれば僕の書いた凹関数と凸関数は逆の意味になりますので
A#1,A#2,A#4,A#5でいう凹関数は凸関数とうい言葉で置き換え、凹関数は凸関数という言葉で置き換えてください。

質問の表現は正しいことになります。
＞a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凸な関数で、かつ
＞f(0)=0とします。
＞このとき、f(a)+f(b)≦f(a+b)となる。

A#4で
＞f(x)が凹関数だから
を「f(x)が凸関数だから」と訂正すれば
そのまま質問の証明となります。

A#1は撤回しますので無視して下さい。
A#2は
＞回答のお礼の所の
＞＞a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凹な関数で、かつf(0)=0とします。
＞＞このとき、f(a)+f(b)≧f(a+b)となる。
＞とお書きですが
＞これも正しくないですね。
凹関数についてはこれば正しいです。訂正します。

その下の
＞条件を満たす関数に
凸関数についての具体例になりますので前半とは切り離して、質問の凸関数の場合の具体例として見てください。

A#5は撤回しますので無視して下さい。
#3さん、すみませんでした。
A#3のままで問題ありませんので訂正させていただき、お詫びします。

質問者さん、混乱させ、訂正とお詫びします。
凸な関数を上に凸の関数と錯誤したようで、質問の問題の「凸な関数」は数学的専門用語の凸関数の意味で、その内容は下に凹んだ関数（下に凸な形状の）関数ですね。（参考URL参照）
凹関数のときはf(a)+f(b)≧f(a+b)となり
凸関数のときはf(a)+f(b)≦f(a+b)となります。

質問の条件を満たす凸関数は下に凹んだ形状の関数で具体例は
f(x)=x^2やf(x)=(10^x)-1など
A#1の補足質問の条件を満たす凹関数は上に凸の形状の関数で具体例は
f(x)=x/(x+1),log_e(x+1)など
が上げられます。
具体的にa,b,a+bの値を代入して不等式が成立するか確認してみてください。

なお、#6さんの凹関数の証明は合っているでしょう。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

何度も回答いただき、ありがとうございました。

回答No.5

info22

#1,#2,#4です。
#3さんのA#3の上部に書かれた命題の
凸関数のときf(a)+f(b)≦f(a+b)となる
ことと証明していることの
　f(a) + f(b) ≧ f(a) + (b/a)f(a) ≧ f(a+b)
は矛盾していますね。

＞これは、実質的に同じですね。
同じことは同じですが、命題の結論の不等号が逆向きですね。

命題を凸関数のときf(a)+f(b)≧f(a+b)となる
と修正すれば証明自体は正しいですね。

凹関数の場合は命題を
凹関数のときf(a)+f(b)≦f(a+b)となるという修正を加えるべきですね。

質問者さんが質問を書き換えたのはいいですが、結論の式の不等号が逆だったのが混乱のもとで、#3さんも回答の上の引用とその評価のところでちょっと勘違いされたみたいですね。

回答No.4

info22

#1,#2です。
A#2での指摘した通りなら
f(a)+f(b)≦f(a+b)
は比較的簡単に証明できますよ。

g(x)=x{f(a+b)/(a+b)}とおけば
f(x)が凹関数だから
f(a)≦g(a)=f(a+b){a/(a+b)}
f(b)≦g(b)=f(a+b){b/(a+b)}
辺々を加えれば
f(a)+f(b)≦f(a+b){a/(a+b)}+f(a+b){b/(a+b)}＝f(a+b)
（証明終わり）

f(x),g(x)のグラフを描いてよく考えれば、証明の式の意味が分かるでしょうね。
闇雲にグラフを書いても描きにくいでしょうから、条件を満足するできるだけ簡単な関数の１つである
f(x)=x^2 , g(x)=4x
a=1,b=3,a+b=4
の場合のグラフを描いて、証明の式を対応させてよく考えて見てください。きっと証明の意味が分かると思います。
頑張って下さい！

回答No.3

aquarius_hiro

ayako0101さん、こんにちは。

> a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凸な関数で、かつf(0)=0とします。
> このとき、f(a)+f(b)≦f(a+b)となる。

これと、

> 正しくは、
> a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凹な関数で、かつf(0)=0とします。
> このとき、f(a)+f(b)≧f(a+b)となる。

これは、実質的に同じですね。。

後者のほうで示してみます。

まず、「凹な関数」の定義は、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E9%96%A2%E6%95%B0

にありますが、t∈[0,1] として、

f(tx+(1-t)y)≧tf(x)+(1-t)f(y) … (1)

となる関数です。これは、上に凸な関数というのと、同じことですが、グラフを想定すると、

f(b+a)≦f(a)+f(b) … (2)

は当たり前の状況だということがわかります。例えば、

f(b+a)-f(a)≦f(b)

と変形すると、左辺はx=a>0からbだけ右に進んだときの関数の増加分であり、右辺は原点x=0からbだけ右に進んだときの増加分です。上に凸なグラフを見ると、前者のほうが後者よりも小さくなるのは明らかですよね？

もう少し式で示してみます。

一般性を失わずに、b<a とします。

まず、(1)で、x=a, y=0, t=b/a としてみます。

　tx+(1-t)y = (b/a) a + (1-(b/a)0 = b

より、f(0)=0も使い、

　f(b)≧(b/a)f(a)+(1-(b/a)f(0) = (b/a)f(a) … (3)

がわかります。次に、(1)で、x=a+b, y=0, t=a/(a+b) とすると、

　tx+(1-t)y = a/(a+b)・(a+b) + [1-(b/(a+b)]・0 = a

より、やはりf(0)=0も使い、

　f(a) ≧ (a/(a+b)) f(a+b)
　(a+b)/a・f(a) ≧ f(a+b)
　f(a) + (b/a)f(a) ≧ f(a+b) … (4)

がわかります。(4)と(3)より、

　f(a) + f(b) ≧ f(a) + (b/a)f(a) ≧ f(a+b)

を示すことができました。

あってると思いますが、ミスがありましたらすみません。

お礼

おかげさまで解決しました。お礼が遅くなってしまってすいません。

ありがとうございました。

回答No.2

info22

#1です。
回答のお礼の所の
＞a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凹な関数で、かつf(0)=0とします。
＞このとき、f(a)+f(b)≧f(a+b)となる。
とお書きですが
これも正しくないですね。

条件を満たす関数に
f(x)=(10^x)-1
がありますが、a=1,b=2を代入すると
f(1)+f(2)=10-1+100-1=108
f(1+2)=(10^3)-1=1000-1=999
で
f(1)+f(2)＜f(3)
となりますよ。
正しくは
f(a)+f(b)≦f(a+b)
ではないでしょうか？

回答No.1

info22

＞f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凸な関数で、かつf(0)=0とします。
f(x)は、区間[0,∞)で単調増加連続で凸な関数で、かつf(0)=0とします。

＞f(a)+f(b)≦f(a+b)
この不等式あっていますか？
f(x)=x/(x+1)は条件を満たしますが不等式は成立しませんよ。

f(a)+f(b)≦f((a+b)/2)
ではないですか？
この不等式なら、凸関数ですから成立しますね。

お礼

すいません、もう一度確認したところ、条件が間違っていました…

正しくは、
a,bが正の実数、f:[0,∞)⇒[0,∞)は、単調増加連続で凹な関数で、かつf(0)=0とします。
このとき、f(a)+f(b)≧f(a+b)となる。

です。ご指摘ありがとうございました。

補足

f(a)+f(b)≦f(a+b)
この不等式で合っています。