導関数と区間の端についてなのですが…

質問

aは0<a<1を満たす定数、f(x)=(cos2x-2)/(acosx+1)とする。f(x)が0≦x≦πで減少関数となるaの範囲を求めよ、という問題で、まず自分はf'(x)=-sinx(2acos^2x+4cosx+3a)/(acosx+1)^2を計算して、0≦x≦πで, f'(x)≦0…(1)を示せばよいと考えました
ここで-sinx/(acosx+1)^2はx=0, πで0, 0<x<πで負なので、g(x)=2acos^2x+4cosx+3aとして
(1)⇔0<x<πで, g(x)≧0としました。そこでg(x)の最小値≧０を示せばよいと思い
g(x)=2a(cosx+1/a)+3a-2/a, 軸はx=-1/a<-1, g(x)は下に凸な関数で、x:0→πのときcosx:1→-1なので、0<x<πでg(x)は単調減少でg(π)=5a-4<g(x)となったところで

ここで不等号にイコールは付いてないのですが、5a-4≧0としてもよいものでしょうか？、0<x<πでg(x)>5a-4, lim[x→π-0]g(x)=5a-4、であるからg(x)≧0⇔5a-4≧0と濁してみたのですが、x=πの時は、aによらずf'(x)=0なわけで、厳密には5a-4がg(x)の最小値とは言えないのでこのような書き方をしてよいのか困っています

またこれはまた別の話で、いつも機械的に0≦x≦πでf(x)が減少関数⇔(1)としているのですが、本当は区間の端ではf'(x)は定義されませんよね、厳密には0≦x≦πでf(x)が減少関数⇔0<x<πでf'(x)≦0かつlim[h→+0]f(0+h)-f(0)/h≦0かつlim[h→-0]f(π+h)-f(π)/h≦0だけど、f(x)がx=0, πで連続で微分可能だから(1)として良い、ということでしょうか？区間の端について考えてたらふと思いました

よろしくお願いします

回答No.1

noname#152422

質問文がごちゃごちゃしていて何が言いたいのか分かりにくいです。少なくとも問題文の最後「という問題で、」のところに句点（。）を使って一回切りましょう。

それと、

> g(x)=2a(cosx+1/a)+3a-2/a, 軸はx=-1/a<-1, g(x)は下に凸な関数で

の部分が何を言ってるのかわからないです。

> 5a-4≧0としてもよいものでしょうか？

そういうときは、仮にa=(4/5)-εというような正の数ε(0<ε<4/5)が存在していたとしたらどうなるか考えればいいです。背理法。

実際、g(π)=2a(5/2-2/a)<2a(5/2-2/(4/5))=0となって、中間値の定理からgは開区間(0,π)の中の少なくとも一つの点で0になる、つまりfがそこで極小になるので矛盾となります。端点での微係数は考えなくていいです。

お礼

すいません、改めて読み直してみるとごちゃごちゃしてますね＾＾；
背理法は納得です、微分係数についてもわかりました。
回答ありがとうございました！