三角関数の積分（大学）

質問

次の関数の不定積を求めてください。

（１）（２ーsinx)/(2+cosx)

(2)1/(2+tanx)

(3)(1-acosx)/(1-2acosx+a^2)

(4)(tanx)^6

（２）でtan(x/2)=tで置換したのですが複雑でとけませんでした。
ご教授宜しくお願いします。

回答No.6

151A48 · ベストアンサー

♯１です
（３）
∫{1-a(1-t^2/1+t^2)}/{1-2a(1-t^2/1+t^2) +a^2}}(2/(1+t^2))dt
＝2{∫{(a+1)t^2 -(a-1)}/{(a+1)^2・t^2+(a-1)^2}(t^2+1)}dt
＝∫{(1-a^2)/{(a+1)^2・t^2+(a-1)^2}+{1/(t^2 +1)}dt　　　　
＝{(1-a^2)/(a+1)^2}∫(1/t^2+A^2)dt+∫1/(t^2+1)dt
A=(a-1/a+1)
となりました。

（２）をt=tan(x/2)でやると
∫(t^2-1)/(t^2-t-1)(t^2+1)dt
=(1/5){∫((2t-1)/(t^2-t-1) -2t/(t^2+1) +4/(t^2+1))dt}
となりました。

部分分数に分けるときの計算が少々面倒でした。
あっていると思うのですが・・・

回答No.5

ferien

＞(4)(tanx)^6
これも、tanｘ＝ｔと置換して解くことができます。
sec^2ｘｄｘ＝ｄｔより、（１＋ｔ^2）ｄｘ＝ｄｔだから、
∫(tanx)^6ｄｘ
＝∫｛ｔ^6／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ
ｔ^6を１＋ｔ^2で割ると、
＝∫（ｔ^4－ｔ^2＋１）ｄｔ－∫｛１／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ
とできるので、これを積分すればいいと思います。
確かめて見て下さい。

回答No.4

noname2727

sinxとcosxであらわされる積分は
tan(x/2)＝ｔと置くと必ず解くことができます。
具体的には
sinx=2t/(1+t^2) cosx=(1-t^2)/(1+t^2)でdx=2/(1+t^2) dt なので有理関数の積分問題に必ず帰着できます。
もちろん、もっと簡単な方法があることもざらですが、分からなくなったらこの方法でいけるはずです。
計算は大変だと思いますが、頑張ってください。

回答No.3

151A48

♯１です。
すみません。（４）は私の見間違えです。
やり方は基本的に同じ。
∫(tanx)^2dx=∫(sinx)^2/(cosx)^2 dx=∫{(1/(cosx)^2)-1}dx=tanx -xと
漸化式
In=∫(tanx)^ndx=∫(tanx)^(n-2) {(1/(cosx)^2)-1}dx=(1/(n-1))(tanx)^(n-1) -In-2
より。In，In-2のn，n-2は下付きの添字です。

（３）は（１）と同じ置換をすると，最終的に1/(t^2 +A^2)の形の積分が２つ出てきたのですが・・・

補足

回答ありがとうございます。

In=∫(tanx)^ndx=∫(tanx)^(n-2) {(1/(cosx)^2)-1}dx=(1/(n-1))(tanx)^(n-1) -In-2
より。In，In-2のn，n-2は下付きの添字です。

高校でやったやつですね。

（３）は（１）と同じ置換をすると，最終的に1/(t^2 +A^2)の形の積分が２つ出てきたのですが・・・

そうですか。僕は一つしかでませんでしたが。ちなみにA=(a-1)^2/(a+1)^2になりました。

回答No.2

ferien

＞（２）でtan(x/2)=tで置換したのですが複雑でとけませんでした。
tanｘ＝ｔで置換すればいいです。
＞(2)1/(2+tanx)
tanｘ＝ｔとおくと、sec^2ｘｄｘ＝ｄｔ，１＋tan^2ｘ＝sec^2ｘより、（１＋ｔ^2）ｄｘ＝ｄｔ

∫｛1/(2+tanx)｝ｄｘ
＝∫ｄｔ／｛（２＋ｔ）（１＋ｔ^2）｝ｄｔ
部分分数に分けると、
＝(1/5)［∫ｄｔ／（２＋ｔ）－∫｛ｔ／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ＋∫｛２／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ］
ここで、２項目について、
∫｛ｔ／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ
＝∫(1/2)｛（１＋ｔ^2）'／（１＋ｔ^2）｝ｄｔ
＝(1/2)log（１＋ｔ^2）
＝log（１＋ｔ^2）^(1/2)
先ほどの続き
＝(1/5)｛｛log｜２＋ｔ｜－log（１＋ｔ^2）^(1/2)＋２tan^(-1)ｔ｝＋Ｃ
＝(1/5)［log｜（２＋ｔ）／（１＋ｔ^2）^(1/2)｜＋２tan^(-1)ｔ］＋Ｃ
tanｘ＝ｔより、１＋ｔ^2＝sec^2ｘ＝（１／cosｘ）^2，ｘ＝tan^(-1)ｔ
＝(1/5)｛log｜（２＋tanｘ）／（１／cosｘ）｜＋２ｘ｝＋Ｃ
＝(1/5)｛log｜２cosｘ＋sinｘ｜＋２ｘ｝＋Ｃ

どうでしょうか？

回答No.1

151A48

（１）　2/(2+cosx)と-sinx/(2+cosx)にわけます。
１項目はt=tan(x/2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),dx=(2/1+t^2)dtの置換，２項目は，分母の微分＝分子
になっているから・・・

（２）-1/(t^2-t-1)　分母因数分解して部分分数に分ける，でだめでしたか？

（３）？

（４）1/(tanx)^2=1/(sinx)^2 -1としてこの積分-1/(tanx) -x
(In)=∫(1/tanx)^n dx=∫(1/(tanx)^n-2・{(1/(sinx)^2)-1}dx
=∫(1/(tanx)^n-2・{(1/(sinx)^2}dx-In-2=(-1/n-1)(1/tanx)^n-1 -(In-2)
の漸化式より。

補足

ごめんなさい。説明不足でした、a=（定数）です。回答ありがとうございます。

1/(tanx) -x
(In)=∫(1/tanx)^n dx

求めたいのは(1/tanx)^6ではなく(tanx)^6なのですが。

宜しくお願います。