数(3)の積分関数の問題で‥

質問

J＝1/π∫[－π、π]｛f(x)－（acosx＋bsinx）}^2　dx

とあったときに、
a＝1/π∫[－π、π]ｆ(x)cosx　dx、b＝1/π∫[－π、π]ｆ(x)sinx　dx
のとき定積分Ｊは最小になることを示せ、という問題なのですが、Ｊを計算するところまではわかるのですが、その先の進め方が全くわかりません。やはり微分をするのでしょうか‥。でもそうすると、ｆ(x)が出てきて、これの処理に困ります‥。。。

どなたかわかる方がいらっしゃたらヒントでいいのでよろしくお願いいたしますっ！！

回答No.6

eatern27 · ベストアンサー

＞で、この上記のａ，ｂとＪ中のａ，ｂってもしかして区別するんですか？
前後の流れが分からないので、断言はできませんが、

＞ａ=(1/π)∫fcosdx,ｂ=(1/π)∫fsindxとおけ
の書き方からすると、問題文の書き方が悪いですね。
A=(1/π)∫fcosdx,B=(1/π)∫fsindxとおけ
みたいな意味だと思っていいと思いますよ。（つまり、J中のa,bと区別する）

では、頑張ってください。

お礼

なるほど～！！！！
やっと謎が解けました！！！
区別するんですね、やはり(^^;

やっと解けます！！=3
ご迷惑おかけしましたm(__)m

また力をお借りすることがありましたらその時はよろしくお願いします(^^;

回答No.5

eatern27

#1+#4です。

＞Ｊ＝1／π∫[－π、π]{ｆ(x)}^2　dx－（ａ^2＋ｂ^2）
よく見ると、a^2,b^2の係数が-1なので、#4に書いたようなミスじゃないかもしれませんね。

解き方を簡単に書きますので、どこで間違っているのか自分で探してください。

※もし、#4に書いたようなミスであっているのなら、下の説明を見ずに、一度自分で証明を考えてみる事をお勧めします。

以下,f(x)はf,cosxなどはcosなどと略記し、積分の範囲は省略します。

J＝(1/π){(∫f^2)+a^2(∫cos^2dx)+b^2(∫sin^2dx)-2a(∫fcosdx)-2b(∫fsindx)+2ab(∫sincosdx)}

ここで、∫cos^2dx=∫sin^2dx=π、∫cossindx=0であり、
A=(1/π)∫fcosdx,B=(1/π)∫fsindx,C=(1/π)∫f^2dxとおくと、

J=C＋a^2+b^2-2Aa-2Bb
=(a-A)^2+(b-B)^2+C-A^2-B^2

よって、
a=A=(1/π)∫fcosdx,b=B=(1/π)∫fsindx
の時に最小。

補足

たびたびのご回答、感謝いたしますm(__)m

自分は大変な勘違いをしている気がしてきたですが、

＞A=(1/π)∫fcosdx,B=(1/π)∫fsindxとおく

とありますが、問題文中で

ａ=(1/π)∫fcosdx,ｂ=(1/π)∫fsindxとおけ

と指定されてるんですよ。で、この上記のａ，ｂとＪ中のａ，ｂってもしかして区別するんですか？
そうしたら解けるかも知れない‥

よろしければまたご指導願いますm(__)m

回答No.4

eatern27

#1です。

＞f(x)＝定数と置くなんて‥、気がつきませんでした。
違います。f(x)が定数なのではなくて、
∫[x:-π→π]g(x)dx
が定数なんです。(g(x)はxのみの関数です。この問題で言えばg(x)=f(x)^2,cosxf(x),sinxf(x)の事です)

理由は、g(x)の原始関数の1つをG(x)とおいたら、
∫[x:a→b]g(x)dx=G(b)-G(a)
ですが、右辺のG(b)-G(a)はa,bが定数なら、定数ですよね？
なので、左辺の∫[x:a→b]g(x)dxも定数になります。
ま、要するに,積分の中身がxのみの関数である限り、積分の範囲が定数なら,積分の結果は定数になるって事です。

別に∫[x:-π→π]f(x)^2dxのままでもいいのですが、いちいち、こんな長いのを書くのは面倒だし、"定数である"というのも見やすいので,文字で置いた方が楽ですよ、みたいな事を言いたかっただけです。

＞Ｊ＝1／π∫[－π、π]{ｆ(x)}^2　dx－（ａ^2＋ｂ^2）

どこかで計算ミスしていますね。おそらく、
(p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2という風に計算していませんか？(p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2+2pq+2qr+2rsが正しいです。

具体的には、
(f-acos-bsin)^2＝f^2+a^2cos^2+b^2sin^2
ではなく、
(f-acos-bsin)^2＝f^2+a^2cos^2+b^2sin^2-2afcos-2bfsin+2absincos
です。

これでも、計算が合わなければ、補足してください。

回答No.3

noname#24477

展開して積分します。
そのときにａ，ｂはｘに対して定数なので積分の
前に出せます。

積分するときａ，ｂについて整理しましょう。
a^2,b^2の後ろの積分は計算できます。
2abの後ろも計算できてこれは０です。

ａ，ｂの後ろはf(x)が入っています。

f(x)が分からないのでこの部分は計算できません。
しかし定積分ですから結果は定数のはずです。
だから＃１の人が言っているようにまとめてＡ，Ｂ，Ｃとでもおいてしまいましょう。

そうするとａ，ｂについて２次式です。
２次式の最小になるときを求めよ、という問題です。

「微分する」というのはｘではだめです。
定積分するとｘはなくなっていますからｘでは微分できません。
（しても０になります）
微分するならａあるいはｂですが、高々２次式ですから
そこまでするほどでもないかな。

補足

なるほど～。

私の場合、何度やってもＪを計算すると最終的に
Ｊ＝1／π∫[－π、π]{ｆ(x)}^2　dx－（ａ^2＋ｂ^2）になるのですが、これだとａ＝ｂ＝０ってことになるんでしょうか？う～んでもｆ(x)が定数なんだからこれも考慮しなければいけないのか‥。

すみません、ヒントでいいといっておきながら、さっぱり問題がわかっていないみたいですね↓↓
よろしければまたご回答お願いします。。。

回答No.2

sin29

ヒントでいいのでという言葉を受けて概ねの説明のみをしたいと思います。

Ｊを積分の形のまま展開すると、abの項が消えるので
ａやｂの関数と見ると、それぞれ独立した単なる二次曲線となります。

Ｊ＝（∫cos^2）ａ^2－2（∫ｆcos）ａ＋ｋ
または
Ｊ＝（∫sin^2）ｂ^2－2（∫ｆsin）ｂ＋ｋ’

二乗の項の係数は共に１になりますので、下に凸のグラフになりますから、Ｊ’＝０（ａやｂでの微分）で答えが求められます。

補足

本当ヒントで十分でございます！！

これは二つの変数のうち一つの変数を固める方法ですよね?（違ったらすみません‥）

でも、何度計算してもａもｂ２乗しか出ないのですが、これだと変数を固める意味がないですよね?
う～ん単なる計算間違いなのか‥

回答No.1

eatern27

＞J＝1/π∫[－π、π]｛f(x)－（acosx＋bsinx）}^2　dx

を計算していきます。すると最終的には
J=Aa^2+Ba+Cb^2+Db+E
と表されます(abの係数は0となるはず)。平方完成をすれば、
J=A(a-α)^2+C(b-β)^2＋γ
となります。なお、Ａ～Ｅ,α～γは定数です。

A,Cは正だから、a=α,b＝βの時に最小です。α,βを求めましょう。

＞ｆ(x)が出てきて、これの処理に困ります‥。。。
∫f^2dx,∫f*cosdx,∫f*sindxのことを指していると思いますが、単なる定数でしかありません。何らかの文字でおいてしまえば、見やすくなると思います。

補足

早速のお返事ありがとうございました！返事が遅くてすみません↓

Ｊ！計算したのですが、ａ^2とｂ^2しか出てこなかったんですよ‥。これはやはりたんなる計算間違いですよね？
Ｊが最小になるとき、ａ＝ｂ＝０なんておかしいですものね!?

f(x)＝定数と置くなんて‥、気がつきませんでした。出直してきます。。。