不等式と2次関数について

質問

学校で解答は解説なし・答えのみのセンター対策問題集を買わされ、
先程からじっくり考えても分からない問題が２つありまして、
よければ何故そうなるの考え方を教えていただけないでしょうか。

1. xに関する不等式 (a+b)x+2a-3b<0 の解がx<-3のとき
　 a=[アイ]bで、b<[ウ]である。
　 またこのとき(a-3b)x+b-2a>0の解は不等式 x[エ]pの形で表され、
　 p=[オカ]/[キ]

2. f(x)=x^2-(3a-1)x+6a-6で、x=2を解にもつ。
　 f(x)<0の解がp<x<2の形になるとき、p=[ア]a-[イ]であり、
　 aのとりうる値の範囲はa<[ウ]/[エ]
　 また、x^2<4を満たすxが、つねにf(x)<0を満たすようなaのとりうる
　 範囲はa≦[オ]/[キ]

回答は順に(1) -6,0,>,13,9　(2) 3,3,5,3,1,3　です。

1番はxがつくのと、つかないのを分けるのは分かるのですが、それ以降よくわかりません。
2番はpがいきなりでてきてよく分からなくなりました。

回答No.1

freedom560 · ベストアンサー

ヒントだけ

＞xに関する不等式 (a+b)x+2a-3b<0 の解がx<-3のときa=[アイ]bで、b<[ウ]である。
不等式の計算は両辺を正の数で割ると不等号の向きは変わりませんが、負の数で割ると向きが変わりますね？で、(a+b)x+2a-3b<0とx<-3の不等号の向きを比べるとどうですか？あとは、(a+b)x+2a-3b<0を両辺(a+b)で割って右辺が-3になるようにあわせましょう。

＞またこのとき(a-3b)x+b-2a>0・・(1)の解は不等式 x[エ]pの形で表され、p=[オカ]/[キ]
上でa=～bであることがわかっているのでそれを(1)に代入してください。で、xについて解いてください。xについて解いたときに右辺に出ている数字がpです。

＞f(x)=x^2-(3a-1)x+6a-6で、x=2を解にもつ。
x=2に解を持つと言うことは(x-2)を因数に持つような形に因数分解できますね？このとき(x-2)(x-α)の形になるわけですが、このαがf(x)=0のもうひとつの解です。

＞f(x)<0の解がp<x<2の形になるとき、p=[ア]a-[イ]であり、aのとりうる値の範囲はa<[ウ]/[エ]
上のαがpになります。p<x<2なので、p<2にp=[ア]a-[イ]を代入してaについて解いてください。

＞また、x^2<4を満たすxが、つねにf(x)<0を満たすようなaのとりうる範囲はa≦[オ]/[キ]
x^2<4を解くと-2<x<2です。この範囲について常にf(x)<0となるにはf(-2)が0以下になっていればいいですね？つまり、f(-2)≦0をaについて解いてください。

お礼

回答ありがとうございます！
どうやら不等式の本質が分かってなかったみたいです。
テストで満点とれるよう頑張ってみます。

回答No.3

mister_moonlight

＞学校で解答は解説なし・答えのみのセンター対策問題集を買わされ、

高校3年生と推測しますので、そのレベルで回答します。

1.
(a+b)x+2a-3b<0　‥‥(1)、x<-3　→x＋3<0　‥‥(2).
題意より、(1)と(2)が同じものであるためには、(1)と(2)の不等号の向きが等しい事に注意して、a+b＞0、and、(a+b)/1＝(2a-3b)/3.　
つまり、b＜0、a＝-6b。
これを、(a-3b)x+b-2a>0に代入すると、(-b)(9x-13)＞0であるから、x＞13/9.

2.
f(x)=x^2-(3a-1)x+6a-6＝(x＾2+x-6)-3a(x-2)＝(x-2)*{x-3(a-1)}＜0.
3(a-1)＜x＜2であるためには、3(a-1)＜2、即ち、a＜5/3.

x^2<4より(x+2)(x-2)＜0　‥‥(3)、(x-2)*{x-3(a-1)}＜0.‥‥(4).

＞また、x^2<4を満たすxが、つねにf(x)<0を満たすようなaのとりうる範囲はa≦[オ]/[キ]

こういう問題は、座標を使うことを薦めます。
(3)と(4)をax平面上に図示します。
aを通常のx軸に、xを通常のy軸に取ります。
そうすると、求める条件が、-2≧3(a-1)であることはほとんど自明でしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
はい、受験生の３年生です！
２番の因数分解のやり方を丁寧に書いていただき助かりました！
皆さんとてもよいかたで全員の方にポイントあげたいのですが、
今回は先着順にさせていただきます＞＜
本当にありがとうございました！

回答No.2

debut

１．
(a+b)x＜3b-2a
・a+b=0つまりa=-bのとき、b＞0ならxは任意の実数だから問題に合わない
　　　　　　　　　　　　　b≦0ならxは解なしだから問題に合わない
・a+b＞0のとき、不等式は x＜(3b-2a)/(a+b)・・・(1)
・a+b＜0のとき、不等式は x＞(3b-2a)/(a+b)・・・(2)
ここで、(2)のとき、x＜-3とできないから、結局、(1)の右辺が-3であれば
よい。
よって、(3b-2a)/(a+b)=-3　→3b-2a=-3(a+b)→a=-6b
ここで、元の式にa=-6bを代入すると、-5bx-15b＜0から-5bx＜15b
この両辺を-5bで割るとき、b＞0ならx＞-3、b＜0ならx＜-3となるので、
b＜0でなければならない。

(a-3b)x+b-2a＞0 にa=-6bを代入すると　-9bx+13b＞0→ -9bx＞-13b
b＜0なので、-9b＞0になるから x＞13/9
x[エ]p としてるのは、この不等式を解けば x の係数は正なので、不等号
の向きは変わりませんよ、ということを示すためです。

２．
x=2が解なので、f(x)は(x-2)(x-3a+3)と因数分解できます。
f(x)＜0の解が p＜x＜2 なのだから、当然 p はx-3a+3=0の解x=3a-3に
一致します。
そして、p＜x＜2 の形になるというのだから、p＜2でなければならない。
つまり、3a-3＜2。

x^2＜4 → x^2-4＜0 → (x+2)(x-2)＜0 → -2＜x＜2　だから、
この範囲で常にf(x)＜0となるには、f(2)=0で　x^2の係数が正だから、
f(-2)≦0が成り立てばよいことになります。（グラフをかいてみましょう)

お礼

回答ありがとうございます。
詳しく書いていただきわかりやすいです。
参考にして、問題をもう一度解こうと思います。