Cについて。

質問

2nCn≧2∧(2nー 1)/√n(n≧1)を示せ。ご教授下さい。すみませんが。

回答No.4

gamma1854 · ベストアンサー

再度失礼します。見直しの結果、最後の部分に計算ミスがありました。以下のとおり訂正します。
(2k+1)*2^(2k)/√(k^2+k) - 2^(2k+1)/√(k+1)≧0
を示せばよい。
左辺を整理して、
【(2k+1 - 2√k)/√(k^2+k)】*2^(2k)≧0. をしめせばよいことになります。

回答No.3

gamma1854

combi(2k+2, k+1)/combi(k+1, k) を計算してみてください。
また、最後の部分は「引く順序が逆」ではありません。時間をかけて確認してください。

補足

combi(2k+2, k+1)/combi(k+1, k)はなぜこのようになるのでしょうか？ご教授下さい。すみませんが、
不等式の左辺が、2・2kCk・(2k＋ 1)/k＋ 1から全然進みません。ご教授下さい。すみませんが。

回答No.2

gamma1854

f(k)≧g(k) の成立仮定のもとで、f(k+1)≧g(k+1) を示すのですが、
f(k+1)=【{2(2k+1)/(k+1)】*f(k) ゆえ、
【2(2k+1)/(k+1)】*f(k) ≧ 【2(2k+1)/(k+1)】*g(k) よりこれが、g(k+1) 以上であればよいわけです。

補足

(*)の両辺に2(2k+1)/(k+1) をかけて、
combi(2k+2, k+1)≧(2k+1)*2^(2k)/{(k+1)*√k} ゆえ、
(2k+1)*2^(2k)/{(k+1)*√k} - 2^(2k+1)/ √(k+1)≧０ を示せばよいことになります。
左辺を通分して、
【{2k+1 - 2√(k^2+k)}/{(k+1)*√k}】*2^(2k).
すなわち、分子の平方、
(2k+1)^2 - {2√(k^2+k)}^2
が正であることをしめせばOK, ということになります。
で、両辺に2(2k＋ 1)／（k＋ 1)をかけると、なぜ、左辺が、combi (2k ＋2,k＋ 1)
になるのでしょうか？後、combiから引くのではないのでしょうか？
≧0の所です。ご教授下さい。すみませんが。

回答No.1

gamma1854

nCr を、combi(n, r) と記すことにします。
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combi(2n, n)≧2^(2n-1) /√n .... (*)
これを「数学的帰納法」にて示すことを考えます。
問題は、n=k から、k+1 へ移るときです。
combi(2k, k)≧2^(2k-1) /√k ...(**) が成立するとして、
combi(2k+2, k+1)≧2^(2k+1) /√(k+1) を示せばよいわけです。
(*)の両辺に2(2k+1)/(k+1) をかけて、
combi(2k+2, k+1)≧(2k+1)*2^(2k)/{(k+1)*√k} ゆえ、
(2k+1)*2^(2k)/{(k+1)*√k} - 2^(2k+1)/ √(k+1)≧０ を示せばよいことになります。
左辺を通分して、
【{2k+1 - 2√(k^2+k)}/{(k+1)*√k}】*2^(2k).
すなわち、分子の平方、
(2k+1)^2 - {2√(k^2+k)}^2
が正であることをしめせばOK, ということになります。
---------------

補足

(*)の両辺に2(2k+1)/(k+1) をかけて、
combi(2k+2, k+1)≧(2k+1)*2^(2k)/{(k+1)*√k} ゆえ、
(2k+1)*2^(2k)/{(k+1)*√k} - 2^(2k+1)/ √(k+1)≧０ を示せばよいことになります。
左辺を通分して、
【{2k+1 - 2√(k^2+k)}/{(k+1)*√k}】*2^(2k).
すなわち、分子の平方、
(2k+1)^2 - {2√(k^2+k)}^2
が正であることをしめせばOK, ということになります。
の所で、2(2k＋ 1)／（k＋ 1)の所の左辺がなぜそうなるのかが、分かりません。
後、示せばよいことになります。の所は、引く順番が逆なのではないでしょうか？ご教授下さい。すみませんが。