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ベルトラン・チェビシェフの定理について。
次の（iii)〜（v)で、（v)は、ｎ～２ｎの間に全く素数がないとしたら、2nＣnは１～２ｎ/３までの素数ｐの累乗の積で素因数分解される（表される）。つまり、２ｎ/３～２ｎまでの素数は全くないという事です。しかも、その中の√(２ｎ)以上の素数は１乗の形でしかない。 で合っていますでしょうか？（iii)は、二項係数2nCnの評価の所の解答の説明で合っていますでしょうか？URL: https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_2nd/ (iv)は、n≦kを使うことしか分かりません。（vii)もご教授下さい。すみませんが。
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(v) 自然数nに対して 2n/3<p≦nとなる素数p>2は 2nCnの素因数の中には全くないから n<～<2nの間に全く素数がないとしたら, 2nCnは1<～≦2n/3までの素数pの累乗の積で素因数分解される(表される). つまり, 2n/3<～≦2nまでの素数は2nCnの素因数の中には全くないという事です. しかも 2nCnの素因数の中の√(2n)以上の素数は1乗の形でしかない (iii) の証明は [補題3.2]n≧4→c_n>4^n/n はその https://starpentagon.net/analytics/bertrand_chebyshev_theorem_2nd/ の証明は書かれていて 証明できているけれども [補題3.1]任意の整数n≧2に対して,c_n<2^(2n-1)<4^n の証明はそこには書かれていません https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf に 書かれていて証明できているので https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf を参照してください (iv) の証明は https://mathematics-pdf.com/pdf/chebyshev.pdf の 補題5.2より 任意の整数n≧2に対して (nまでの素数の積) = Π_{p≦n}p<2^(2n-1)<2^(2n)<(2^2)^n=4^n (vii) (vi)の不等式は 4^n/n<4^(2n/3)・(2n)^({√(2n)}/2) {2^(2n)}/n<2^(4n/3)・(2n)^({√(2n)}/2) ↓2を底とする対数をとると log_2({2^(2n)}/n)<log_2{2^(4n/3)・(2n)^({√(2n)}/2)} log_2{2^(2n)}-log_2(n)<log_2{2^(4n/3)}+log_2{(2n)^({√(2n)}/2)} 2nlog_2(2)-log_2(n)<(4n/3)log_2(2)+({√(2n)}/2)log_2(2n) 2n-log_2(n)<(4n/3)+({√(2n)}/2){log_2(2)+log_2(n)} 2n-log_2(n)<(4n/3)+({√(2n)}/2){1+log_2(n)} 2n-log_2(n)<(4n/3)+({√(2n)}/2)+({√(2n)}/2)log_2(n) (2n/3)-({√(2n)}/2)<log_2(n)+({√(2n)}/2)log_2(n) (2n/3)-({√(2n)}/2)<(1+{√(2n)}/2)log_2(n) である x={√(2n)}/2 とおくと, これは 4x^2/3-x<(x+1)(1+2log_2(x)) である しかし φ(x)=log_2(x)=logx/log2 は φ(8)=3 x≧8 e^2<8 2<3log2 1/log2<3/2 1/8<1/e^2 1/x≦1/8<1/e^2 1/(xlog2)<3/(2e^2)<1/2 φ'(x)=1/(xlog2)<1/2 なので x≧8で log_2(x)≦x/2-1 1+log_2(x)≦x/2 2+2log_2(x)≦x 2log_2(x)≦x-2 4x^2/3-2x-1<(x+1){2log_2(x)}≦(x+1)(x-2) 4x^2/3-2x-1<x^2-x-2 4x^2-6x-3<3x^2-3x-6 x^2-3x+3<0 0<3/4≦(x-3/2)^2+3/4=x^2-3x+3<0 矛盾する x≧8 {√(2n)}/2=x≧8 n≧128 では成立しない ∴ n≧128についてはnと2nとの間に素数がある
補足
以下のURLは、（iii)の証明でしょうか？（iv)の証明でしょうか？ご教授下さい。すみませんが。
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ありがとうございます。（iii)は、以下のURLそのものでしょうか？ご教授願います。すみませんが。 https://starpentagon.net/analytics/bertrand_cheb …