nＣ0+nＣ1+nＣ2+…+nＣ(n-1)+nＣn

質問

n≧2かつn∈Nのとき次の等式を証明せよ
1×nＣ1+4×nＣ2+…+(n-1)^2×nＣ(n-1)+n^2×nＣn=n(n+1)×2^(n-2)
(nＣ0)^2+(nＣ1)^2+(nＣ2)^2+…+(nＣ(n-1))^2+(nＣn)^2=(2n)Ｃn

証明の仕方を教えてください

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

前半の等式の証明

二項展開

（☆）(1+x)^n=Σ_{k=0}^nnCkx^k

☆の両辺を1回微分すると

n(1+x)^{n-1}=Σ_{k=1}^nknCkx^{k-1}

x=1とすると

(1)Σ_{k=1}^nknCk=n2^{n-1}

☆の両辺を2回微分すると

n(n-1)(1+x)^{n-2}=Σ_{k=2}^nk(k-1)nCkx^{k-2}

x=1とすると

n(n-1)2^{n-2}=Σ_{k=2}^nk(k-1)nCk=Σ_{k=1}^nk(k-1)nCk

=Σ_{k=1}^nk^2nCk-Σ_{k=1}^nknCk

(1)より

n(n-1)2^{n-2}=Σ_{k=1}^nk^2nCk-n2^{n-1}

∴Σ_{k=1}^nk^2nCk=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}=n(n+1)2^{n-2}（終）

後半の等式の証明

2n個の異なるものをn個ずつのグループA，Bに分ける．2n個からn個とる組み合わせは，

Aからk個，Bからn-k個とることによって実現できる．ただし，k=0,1,・・・,nである．

よって和の法則より

Σ_{k=0}^nnCk×nCn-k=2nCn

ここで

nCn-k=nCk

より

Σ_{k=0}^n(nCk)^2=2nCn（終）

お礼

ありがとうございました

補足

☆の両辺を1回微分すると

Σがついたものを微分ってどういう規則で微分してるのですか？

回答No.3

Tacosan

(f(x), g(x) は x で微分できるとして) f(x) + g(x) を x で微分したらどうなる?

お礼

すみません、自己解決しました
ありがとうございました

補足

f'(x) + g'(x)です
証明はできませんが

つまりΣのままじゃなく展開した状態で微分ということですね
わかりました

Σ_{k=2}^nk(k-1)nCkからどうしてΣ_{k=1}^nk(k-1)nCkになるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

上は 2項定理を微分したりすれば何とかなる.

下は... 今までも何回か出てきてるんじゃないかな.
nCk = nC(n-k)
に気づくかどうかの勝負かなぁ.

補足

二項定理の微分ですか？
()^nの()内が思い付かないのですが
下はnCk = nC(n-k)を使ってどうするのでしょうか？
変形しても順番が逆になるだけなのですが