a≧1 , [a]+1≦n≦[2a]のとき、

質問

a≧1 , [a]+1≦n≦[2a] (nは整数)のとき，次の問いに答えよ．

(1) n ≦ [na/(n-a)] + 1 を証明せよ．

(2) 1/n + 1/([na/(n-a)]+1) ＜ 1/a を証明せよ．

ガウス記号を使った不等式の証明の仕方が苦手でわかりません。

回答No.2

fef · ベストアンサー

ANo.1に補足です．

(1)は次のように説明した方がよかったかもしれません．

(1)で示すべき不等式の右辺を見ると，
これはANo.1で述べたポイントの不等式
　[x] <= x < [x] + 1
がそのまま使える形になっています．
つまり，
　n a / (n - a) < [n a / (n - a)] + 1
が成り立ちますね．
したがって，実は
　n <= n a / (n - a)
さえ示せればよい，ということがわかります．
さらに，いま n は正の数なので，
　1 <= a / (n - a)
さえ示せればよいですね．
この不等式はANo.1で述べたように，関係式
　0 < n - a <= a
から導かれます．

お礼

ありがとうございます。

(1)も上手に変形するとほぼ自明になるのですね。

回答No.1

fef

Gauss記号に関する問題のポイントは，
Gauss記号の定義から直ちに得られる以下の二つの不等式です:
　[x] <= x < [x] + 1,
　x - 1 < [x] <= x.

このことに注意し，まず，最初に与えられた不等式
　[a] + 1 <= n <= [2 a]
について考えてみましょう．
すると，不等式中に現れたGauss記号に関して
　[a] <= a < [a] + 1,
　[2 a] <= 2 a < [2 a] + 1
より，
　a < n <= 2 a
という関係が得られます．

次に，(1)で示すべき不等式を見ると，
結局，右辺の
　a / (n - a)
が 1 以上であることを示せばよいだけですね．
なぜなら，もし
　1 <= a / (n - a)
が成り立てば，
　n <= n a / (n - a)
が成り立ち，
両辺にGauss記号を付けて，
　(n =) [n] <= [n a / (n - a)]
が言えますからね．
そこで，先ほど得られた関係式を少し書き換えて
　0 < n - a <= a
としましょう．
後は頑張ってください．

(2)に関しては，示すべき不等式を少し変形すると，
実は
　n a / (n - a) < [n a / (n - a)] + 1
を示せばよいということがわかります．
こちらは，上に掲げたポイントがわかっていれば，すぐに解けますね．

お礼

ありがとうございます。

(2)の不等式を変形すると、ほぼ自明な不等式になるのですね。