設計検証の際の最小二乗法の使用方法

質問

自動車の部品設計を最近始めた者です。初心者で申し訳ありませんが、設計者又は統計学に精通している方に質問があります。
例えば・・・。

Ａ部品10mm公差±0.1・Ｂ部品20mm公差±0.3・C部品25mm公差±0.2
という部品があり、それぞれが組み合わさって1つの製品になるとします。
その時に公差が最悪だと

10.1＋20.3＋25.2＝55.6

と、なるのですが。最悪のケースはまず起きない。
そこで最小二乗法の登場です。

√(0.1＾2＋0.3＾2＋0.2＾2）＝0.374

となり、これを合わさった部品の公差とする。。。。
と先輩から習い、上司に説明したところ。

では最悪になる確率はどのくらいなんだ？
最小二乗法とはなんだ？
どうしてそれを使うんだ？

と・・・。来週のミーティングまでの宿題にされてしまいました。
どなたか詳しい方いらっしゃらないでしょうか？
ネットで調べましたが、難しくて・・。
よろしくお願いします。

回答No.6

noname#230359

どもども。
これは、
"エンジニアたるもの、信頼できる先輩からの教えとは言え、自分の理解していない事を、判った顔して闇雲に使う事無かれ"
と言う、上司の方の有難い教えですよね。人の言う事を鵜呑みにして設計しても、自分の実力はつかないし、適当な事教えられて失敗しても責任は自分持ち。良い事無いです。

ま、上司の方が理解できなくてイヤガラセしてるだけって可能性も、少しはありますが(^^;)

さておき、私も浅学の身。アドヴァイスの方は皆様の回答より良い物を出す自信がありませんので、参考書籍をご紹介するに留め置きます。

日刊工業新聞社 刊
山田学 著
図面ってどない描くねん！～現場設計者が教える初めての機械製図～

この中に、最小二乗法、正しくは"二乗平均での統計的公差法"についての解説があります。
３ページほどですが、判りやすいと思いますので立ち読みでも…
ただ、他のページも役に立ちますので、初心に戻ったつもりで買われるのもよろしいかと思います。

宣伝しても日刊工業新聞からマージン頂ける訳じゃないんですが…

お礼

有り難うございます。
さっそくその書籍探してみます！

回答No.5

noname#230359

なかなか理解するのは難しいと思います。
加工者にとって公差というのはある意味逃げ道です。
「公差0なんてつくれない」だから必要な部分はある程度厳しい
公差を設けて、そこまで必要でない部分は公差を広げてゆとりをつくり
調整が出来るように考えます。
現場の考えである意味甘い考えで逃げようとするのが、
単純に公差を加えるやり方です。
一方、設計の立場から見ると結構がちがちに公差を設定する傾向があり
ますので最小二乗法というのを用います。
要は現場では現実的な公差を単品で考えようとし、
設計はすべてを合わせた公差（理想）を考えますのでこのようなことになります。

私が思うに最小二乗法を用いる理由は加工者にとっての加工精度内容は
あくまでも確率の上に成り立っているということです。
たとえば20ｍｍに鋼材を仕上げようとするときいくらかの誤差が出るかと思います。ほとんど20ｍｍあるものもあれば20.05のものもあるでしょう。
加工者は20ｍｍに仕上げようとしても、工具のへたりや機械公差によって
いろいろ出来ると思います。つまり、確率の問題になります。
（加工者にとって何でもかんでもほとんど20ｍｍに出来るほどの技術が
あるのであればどちらの公差を用いても関係ないとおもいますが・・。）
こんな説明でよろしかったでしょうか。

参考になれば幸いです。

回答No.4

noname#230359

(2)のお答えのとうり　実務で確率をいっても役立ちませんね。
各部品の分布関数が　正規分布なんてことはあまりないし。
全部正規分布を仮定したって、それぞれの公差範囲が　３シグマに一致していないので、計算は超越関数の繰り込み積分（チンぷんかんぷん）で計算ですからねー。
何を管理したいかで、データを見て、要因解析、感度分析、その上で自社で何ができるか　を考えて　提案すれば宿題のこたえになるのでしょう。

回答No.3

noname#230359

こんにちは。
アドバイス（ヒント）ですが投稿させていただきます。

分布の巾（シグマ）と範囲外の割合です。
分布の巾が±1シグマのとき、範囲外の割合31.7%
分布の巾が±2シグマのとき、範囲外の割合4.55%
分布の巾が±3シグマのとき、範囲外の割合0.27%
分布の巾が±4シグマのとき、範囲外の割合0.006%

これをヒントに最悪の確立がだせると思います。
工程能力や標準偏差が理解できていないのであれば、まずそこからで。
ちなみにばらつきが規格の中心で正規分布していることが前提です。

工程能力については、品質管理関連でよく資料があると思います。
自動車部品関連であれば、品質部門に資料があるかと。
ちなみに２乗を用いるヒントはバラツキは面積に作用するためです。

他の方が言われている分散の加法性の性質があるためです。
イメージでいうと、バラツキAとBとCをたしたバラツキを”√(A^2+B^2+C^2)”とし、ヒストグラム化したとします。
そこからバラツキCだけを取り除き”√(A^2+B^2-C^2)”ヒストグラム化します。
バラツキCを加える、加えないで、その差分のヒストグラムの面積（巾にも高さ）が違います。
上手く説明できませんので、詳細は分散の加法性”で調べられないでしょうか。
なぜ、±３シグマなのか？私もはっきりした理由がわかりませんが、JISでも工程能力指数は、”６シグマであらわす”と書いてあったような‥。
±3シグマで範囲外の確率が3/1000で妥当だからですかね？（確率をゼロにはできませんし‥）
その範囲外の確率3/1000をさらに下げるため、Cp・Cpkを1.66として範囲外確立を5/10000000と下げて出来栄えの安心を得ています。
すべてが確率ですが‥。

お礼

アドバイス有り難うございます。
統計学は未経験なことからかなり戸惑ってます。難しいですね。とりあえず標準偏差は理解しました。工程能力について勉強してみますね。

補足

バラツキは面積に作用する。。。なんとなく解りますが解りません。。。
上記の最悪の確立なのですが、色々な資料を見た結果、±３シグマくらいの確立だと記述してありました。でもなぜ３シグマなのか解りません。なにか良い資料ないでしょうか？宜しくお願いいたします。

回答No.2

noname#230359

せっかくあなたのことを思って宿題にされたのですから，安直に回答を求めるのも問題ですな．まずは統計的品質管理法（死語？）のテキストなり書籍をあたることが先でしょう．
それと，『最小二乗法』という用語はこの場合は用いません．過去ログ参照．

RSS(Root Square Sum)とか二乗和平方根とか言ったりしますね．
最小二乗法とは全然別物です．

【蛇足１】ちなみに二乗を用いるのは面積とは関係なく，分散に加法性があるためですよ．
【蛇足２】過去ログにあるとおり，こうやって計算された結果は実務では役に立ちません．理由はいろいろあります．

実は『分散の加法性』というのは最初の質問の答えそのものです．
二乗するというのは標準偏差を分散のディメンジョンに置き換える操作をしているに過ぎません．
お手元に統計学の書籍があるのでしたらまず間違いなく載っていますし，WEB検索をかけてもたくさんヒットします．
さあここから先は勉強ですぞ．

補足

こんにちわ。
統計学についての書籍を先日図書館で借りてきました。が。。設計とリンクしていないのでよくわかりませんね。『最小二乗法』という用語を用いらないとすると、どのような言葉が当て嵌るでしょうか？

申し訳ございません、「二乗を用いるのは分散に加法性があるため」とは具体的にはどういう事でしょうか？自分的にはただバラつきには＋と－があり、その符号を統一させるためなのかと。。。。素人で申し訳ございません。。

回答No.1

noname#230359

教えてくれた先輩は何と言っているのでしょうか？

補足

使い方は知っているが、なぜそれを使うのかが理論で説明できないと言っていました。。。何かで規格化などされてませんですかねぇ