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2生産要素の生産関数から供給関数を求める

ミクロ経済の質問なのですが、 ある企業の生産関数をy = x1^1/3 * x2^1/3とする。(yは産出量、x1,x2はそれぞれ生産要素投入量) 生産物価格をp、それぞれの生産要素価格をw1,w2とするとき、 (1)利潤を最大化する生産要素の需要関数を求めなさい。 (2)生産物の供給関数を求めなさい。 という問題の解き方を教えてください。 生産要素が一つの場合はなんとなく理解したのですが、二つになるとよくわかりません。 (2)であれば、費用関数C = w1x1 + w2x2を全微分すればよいのでしょうか? よろしくお願いいたします。

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利潤をΠと書くと Π = py - (w1x1 + w2x2) = px1^1/3・x2^1/3 - w1x1 - w2x2 となるが、Πをx1とx2について最大化する。一階の条件は ∂Π/∂x1 = ∂Π/∂x2 = 0だから 0 = ∂Π/∂x1 = p(1/3)x1^(-2/3)・x2^1/3 - w1 0 = ∂Π/∂x2 = p (1/3)x1^1/3・x2^(-2/3) - w2 よって (1/3)x1^(-2/3)・x2^1/3 = w1/p (1/3)x1^1/3・x2^(-2/3) = w2/p 2番目の式をx2について解き、それを1番目の式のx2へ代入すると x1 = (1/27)(w1/p)^(-2)・(w2/p)^(-1) を得る(確かめられたい)。同様にして x2 = (1/27)(w2/p)^(-2)・(w1/p)^(-1) となる。これらが、それぞれx1とx2の需要関数だ。 これらが求まったら、これらを 生産関数 y = x1^1/3・x2^1/3 の右辺のx1とx2に代入すれば生産物yの供給関数が得られる。結果は y = (1/9)p^2/(w1w2) となり、これが供給関数だ。 質問があれば、追加コメントをしてください。

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質問者からのお礼

過程まで丁寧にご教授いただいて、非常にわかりやすかったです。 おかげさまで自分でも解けました。ありがとうございました!

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